6. Somma e intersezione di sottospazi
Consideriamo due sottospazi V1 e V2 di uno spazio vettoriale V; denotiamo con V1 + V2 il sottospazio somma tra V1 e V2, ovvero il sottoinsieme di V dato da
V1 + V2 = {v ∈ V : v = v1 + v2, vi ∈ Vi}.
Applicando il primo o il secondo criterio per i sottospazi si trova immediatamente che V1 + V2 è un sottospazio di V. Diciamo che V1 e V2 sono in somma diretta se
V1 ∩ V2 = {0}.
La somma diretta tra sottospazi gode della seguente importante proprietà.
Proposizione
Siano V1 e V2 sottospazi di V; allora V1 e V2 sono in somma diretta se e solo se per ogni v ∈ V1 + V2 la decomposizione v = v1 + v2, con vi ∈ Vi, è unica.
Dimostrazione. Supponiamo che V1 + V2 sia una somma diretta; sia v ∈ V e siano v1, w1 ∈ V1 e v2, w2 ∈ V2 tali per cui v = v1 + v2 = w1 + w2. Allora v1 − w1 = w2 − v2.
Dunque v1 − w1, w2 − v2 ∈ V1 ∩ V2 e quindi per ipotesi v1 − w1 = w2 − v2 = 0, da cui l’unicità della decomposizione.
Viceversa supponiamo che per ogni v ∈ V1 + V2 la decomposizione v = v1 + v2, con vi ∈ Vi, sia unica. Sia w ∈ V1 ∩ V2. Allora 0 = w + (−w); ma essendo la decomposizione di 0 unica deve essere w = 0.
Esempio
Siano V1 e V2 i due sottospazi di ℝ2 generati da (2, 1) e (0, 1) rispettivamente. Allora
V1 + V2 = {(2x, x + y) : x, y ∈ ℝ}.
La somma V1 + V2 è diretta dal momento che V1 ∩ V2 = {(0, 0)}.
Osservazione
Siano V1 e V2 due sottospazi di V; allora l’insieme V1 ∩ V2 è un sottospazio di V. Infatti se λ1, λ2 ∈ K e v1, v2 ∈ V1 ∩ V2, allora per il secondo criterio per i sottospazi si ha λ1v1 + λ2v2 ∈ V1 e λ1v1 + λ2v2 ∈ V2, da cui λ1v1 + λ2v2 ∈ V1 ∩ V2.
Esiste un’importante relazione che lega le dimensioni di V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2, data dal seguente teorema che non dimostriamo per semplicità, benché la dimostrazione non sia difficile, ma solo lunga e noiosa.
Teorema (Formula di Grassmann)
Siano V1 e V2 due sottospazi di uno spazio vettoriale V di dimensione n. Allora si ha
dim V1 + dim V2 = dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2).
In particolare, se V1 e V2 sono in somma diretta, la formula diventa
dim V1 + dim V2 = dim(V1 + V2).
10
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
