Rango

9 Rango 0

n m

→

Sia f : un’applicazione lineare tra spazi vettoriali. Siano B e B le due

K K n m

basi canoniche rispettivamente in e , e sia A la matrice che rappresenta f

K K

0

rispetto a B e a B . Allora le colonne di A costituiscono un insieme di genera-

tori per Im(f ). Infatti le colonne di A in tal caso vengono ad essere l’immagine

n

attraverso f della base B, che è un insieme di generatori per ; ne segue che

K

tali colonne, per costruzione, come vettori, formano un insieme di generatori per

Im(f ). Ma che dimensione ha Im(f )? È possibile dedurre la dimensione di Im(f )

analizzando solo la matrice che rappresenta f ? La risposta è affermativa e porta

alla nozione di rango di una matrice. Definiamo infatti rango della matrice A

il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti estraibili da A.

Con tale definizione il rango della matrice che rappresenta un’applicazione lineare

n m

→

f : rispetto alle basi canoniche coincide ovviamente con la dimensione

K K

di Im(f ). Il numero massimo di righe linearmente indipendenti estraibili da

Proposizione.

A coincide con il numero massimo di colonne linearmente indipendenti estraibili

da A.

Dimostrazione. Sia p il numero massimo di righe linearmente indipendenti e q il

numero massimo di colonne linearmente indipendenti. Supponiamo che sia p < q.

Allora esiste un minore di ordine p estraibile da A non singolare. Inoltre per la

massimalità di p tutti i minori di ordine > p sono singolari. Ma se il numero

massimo di colonne linearmente indipendenti è q > p dovrebbe esistere un minore

di ordine q non singolare, che è assurdo. In modo analogo si mostra anche che non

può essere p > q.

Il rango della matrice A, denotato anche con r(A), coincide quindi anche con

l’ordine massimo dei minori estraibili da A non singolari.

La matrice

Esempio.  

1 2 3 0

4 5 0 1

A =  

2 6 3 4

ha rango 3 dal momento che si ha

 

2 3 0 6

5 0 1

det = 0.

 

6 3 4

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