Rango

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f: Kⁿ → K^m

Sia f un’applicazione lineare tra spazi vettoriali. Siano B_n e B_m le due basi canoniche rispettivamente in Kⁿ e K^m, e sia A la matrice che rappresenta f rispetto a B_n e a B_m.

Allora le colonne di A costituiscono un insieme di generatori per Im(f). Infatti le colonne di A in tal caso vengono ad essere l’immagine attraverso f della base B_n, che è un insieme di generatori per Kⁿ; ne segue che tali colonne, per costruzione, come vettori, formano un insieme di generatori per Im(f).

Ma che dimensione ha Im(f)? È possibile dedurre la dimensione di Im(f) analizzando solo la matrice che rappresenta f? La risposta è affermativa e porta alla nozione di rango di una matrice.

Definiamo infatti rango della matrice A il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti estraibili da A.

Con tale definizione il rango della matrice che rappresenta un’applicazione lineare f: Kⁿ → K^m rispetto alle basi canoniche coincide ovviamente con la dimensione di Im(f).

Il numero massimo di righe linearmente indipendenti estraibili da A coincide con il numero massimo di colonne linearmente indipendenti estraibili da A.

Proposizione

Dimostrazione. Sia p il numero massimo di righe linearmente indipendenti e q il numero massimo di colonne linearmente indipendenti. Supponiamo che sia p < q.

Allora esiste un minore di ordine p estraibile da A non singolare. Inoltre per la massimalità di p tutti i minori di ordine > p sono singolari.

Ma se il numero massimo di colonne linearmente indipendenti è q > p dovrebbe esistere un minore di ordine q non singolare, che è assurdo. In modo analogo si mostra anche che non può essere p > q.

Il rango della matrice A, denotato anche con r(A), coincide quindi anche con l’ordine massimo dei minori estraibili da A non singolari.

La matrice

Esempio

La matrice

A = \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 0 & 1\\ 2 & 6 & 3 & 4 \end{pmatrix} \]

ha rango 3 dal momento che si ha

\[ \det \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0\\ 5 & 0 & 1\\ 6 & 3 & 4 \end{pmatrix} = 0. \]

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