Modulo o valore assoluto

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 1

________________________________________________________________________________

Modulo o valore assoluto

Questo concetto risulta spesso di difficile comprensione.

Per capirlo, occorre applicare rigorosamente la definizione di modulo.

Modulo di un numero

Se a è un numero reale qualsiasi allora: |a| (che si legge valore assoluto o modulo di a), si intende

che rappresenti il numero stesso se questo è positivo oppure nullo, invece il numero opposto se esso

è negativo.

Quindi la definizione è:

|a| = a se è a > 0

|a| = -a se è a < 0

1 2

1 2

−

= ; ;

=

Esempi: |3| = 3; |-4| = -(-4) = 4; 3 7

3 7

|4-3| = 1;

|3-4| = |-1| = 1; |-2-5| = |-7| = 7;

Modulo di una espressione o funzione

Adesso generalizziamo il discorso ad una espressione o funzione, e passiamo dal numero a alla

funzione: f(x).

La definizione è sempre la stessa:

|f(x)| = f(x) se f(x) ≥ 0

|f(x)| = - f(x) se f(x) < 0

In sintesi, e in modo informale, il modulo è un meccanismo, un algoritmo che rende sempre

positivo quello che sta racchiuso tra il simbolo | |.

Nel caso di una funzione f(x), che assumerà valori positivi in certi intervalli e negativi in altri, il

modulo avrà l'effetto che f(x) resti positiva dove già lo è, e diventi positiva dove invece è negativa.

Esempio: prendiamo |x|; per definizione si ha:

|x| = x se x > 0

|x| = -x se x < 0 www.matematicamente.it

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 2

________________________________________________________________________________

Quindi se x = 5, |x| = 5; se x = -5, |x| = 5.

Se si traccia il grafico della funzione y = |x| si ottiene nel primo quadrante (per x > 0): y = x, cioè la

bisettrice del primo e del terzo quadrante; invece nel secondo quadrante (per x < 0) si avrà y = -x (

essendo x negativo, allora y sarà positivo) e sarà la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Quindi il grafico è una specie di “V” col vertice in O(0,0).

Se analogamente consideriamo y = |x-2| il grafico avrà sempre una forma a V, ma con vertice in

(2,0): www.matematicamente.it

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 3

________________________________________________________________________________

2

Altro esempio: sia f(x) = |x -8x+12|, e se ne voglia disegnare il grafico:

È sempre valida la definizione:

2 2 2

-8x+12| = x -8x+12 per x -8x+12 ≥ 0

|x

2 2 2

-8x+12| = -x +8x-12 per x -8x +12 < 0

|x 2