Modulo o valore assoluto

MODULO O VALORE ASSOLUTO

Questo concetto risulta spesso di difficile comprensione.

Per capirlo, occorre applicare rigorosamente la definizione di modulo.

a) MODULO DI UN NUMERO

Se a è un numero reale qualsiasi allora : |a| (che si legge valore assoluto o modulo di a), si intende

che rappresenti il numero stesso se questo è positivo oppure nullo, invece il numero opposto se esso

è negativo.

Quindi la definizione è:

|a| = a se è a > 0

|a| = -a se è a < 0

1 2

1 2

−

= ; ;

=

**Esempi: |3| =3 ; |-4|=-(-4)=4 ; 3 7

3 7

|4-3|=1;

|3-4| = |-1|=1 ; |-2-5| =|-7| = 7;

b) MODULO DI UNA ESPRESSIONE O FUNZIONE

Adesso generalizziamo il discorso ad una espressione o funzione , e passiamo dal numero a alla

funzione : f(x) .

La definizione è sempre la stessa:

|f(x)| = f(x) se f(x) ≥ 0

|f(x)| = - f(x) se f(x) < 0

In sintesi, e in modo informale, il modulo è un meccanismo, un algoritmo che rende sempre

positivo quello che sta racchiuso tra il simbolo | |.

Nel caso di una funzione f(x), che assumerà valori positivi in certi intervalli e negativi in altri, il

modulo avrà l'effetto che f(x) resti positiva dove già lo è, e diventi positiva dove invece è negativa.

**Esempio: prendiamo |x| ; per definizione si ha :

|x| = x se x>0

|x| = -x se x<0 www.matematicamente.it

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 2

________________________________________________________________________________

Quindi se x=5 , |x|= 5; se x=-5, |x|=5 .

Se si traccia il grafico della funzione y = |x| si ottiene nel primo quadrante ( per x>0 ) : y=x , cioè la

bisettrice del primo e del terzo quadrante; invece nel secondo quadrante ( per x< 0 ) si avrà y = -x (

essendo x negativo, allora y sarà positivo ) e sarà la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Quindi il grafico è una specie di “V” col vertice in O(0,0).

**Se analogamente consideriamo y=|x-2| il grafico avrà sempre una forma a V , ma con vertice in

(2,0): www.matematicamente.it

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 3

________________________________________________________________________________

2

**Altro esempio: sia f(x) = |x -8x+12|, e se ne voglia disegnare il grafico:

È sempre valida la definizione:

2 2 2

-8x+12| = x -8x+12 per x -8x+12 ≥ 0

|x

2 2 2

-8x+12| = -x +8x-12 per x -8x +12 < 0

|x 2

Risolvendo la disequazione: x -8x+12 ≥ 0 si trova che è soddisfatta per x ≥ 6 e x ≤ 2,

2

mentre è: x -8x+12 < 0 per 2<x<6 .

2 2

Allora si ha: |x -8x+12| = x -8x+12 per x ≥ 6 e per x ≤ 2

2 2

|x -8x+12| = -x +8x-12 per 2<x<6.

Si ottengono dei rami di parabola e nei punti da x=2 a x=6, la funzione si “ribalta” rispetto all’asse

x, risultando così sempre positiva o nulla. www.matematicamente.it

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 4

________________________________________________________________________________

**Ancora un esempio: f(x) = |x-1| +| x-2|. Disegnarne il grafico:

Si ha per definizione:

|x-1| = x-1 per x ≥ 1

|x-1| = 1-x per x < 1

|x-2| = x-2 per x ≥ 2

|x-2| = 2-x per x < 2

Si devono allora considerare 3 intervalli per studiare e rappresentare la funzione in quanto si

avranno tre espressioni analitiche diverse a seconda dell'intervallo che si considera. Quindi:

a) x ≤ 1 ; f(x) = 1-x+2-x = 3-2x

b) 1 ≤ x ≤ 2 ; f(x) = x-1+2-x= 1

c) x > 2 ; f(x) = x-1+x-2 = 2x-3 www.matematicamente.it

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 5

________________________________________________________________________________

Un ultimo esempio: y = |sin x|: il grafico apparirà come archi continui che si congiungono in punti

aventi ordinata nulla:

EQUAZIONI CON MODULO

**Iniziamo con un esercizio: trovare le soluzioni dell' equazione : |x|+|x-3| = x

Per definizione è:

|x| = x se x > 0

|x| = -x se x< 0

|x-3| = x-3 se x ≥ 3

|x-3| = 3-x se x < 3

Dividiamo in 3 intervalli :

a) x ≤ 0 ; -x-x+3 = x da cui: 3=3x e quindi: x=1 ; soluzione

non accettabile perché esterna all'intervallo considerato.

b) 0 ≤ x ≤ 3 ; x+3-x=x da cui x=3 ; soluzione accettabile .

c) x >3 ; x+x-3 = x da cui: x=3 che è la stessa soluzione indicata sopra

www.matematicamente.it

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 6

________________________________________________________________________________

Quindi l'equazione ha una sola radice : x=3.

È interessante risolvere graficamente l'equazione : provare a tracciare il grafico di y=|x| +|x-3| e poi

intersecarlo con la retta y=x: l’ascissa del punto di intersezione fornisce la soluzione:

**Trovare le soluzioni dell'equazione :

log |x-1| = 0

per definizione si ha :

|x-1| = x-1 per x> 1

|x-1| = 1-x per x<1

Quindi:

a) x>1 ; log(x-1)=0= log 1 da cui : x-1=1 e quindi x=2 che è una soluzione . Infatti : log|2-1| =

log1=0.

b) x<1 ; log(1-x)=0 da cui log(1-x)=log 1 e quindi: 1-x=1 da cui x=0 che è una soluzione ; Infatti :

log|0-1|= log |-1|=log1=0.

Quindi l'equazione ha 2 soluzioni : x=0 e x=2. www.matematicamente.it

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi – C. Enrico 7

________________________________________________________________________________

DISEQUAZIONI CON MODULO

Se q(x) è un polinomio in x e a é un numero positivo, allora la disequazione |q(x)| < a sarà

soddisfatta per quei valori di x, se esistono, che fanno assumere a q(x) valori simultaneamente

minori del numero a e maggiori del numero -a.

Infatti se q(x) > 0 allora |q(x)|= q(x) < a , mentre se q(x) < 0 allora

|q(x)|=-q(x) < a che vuol dire : q(x)> -a e quindi in conclusione :

-a< q(x) < a . Quindi |q(x)| < a equivale al sistema :

<

 ( )

q x a

 > −

( )

 q x a

Invece nel caso la disequazione sia:|q(x)| > a allora si ha :

se q(x) > 0 allora |q(x)|= q(x) > a mentre dove q(x) < 0 si ha: |q(x)|= -q(x) > a cioè q(x) < -a e quindi

la disequazione : |q(x)|>a è equivalente alle 2 disequazioni :

q(x) > a e q(x) < -a.

2

**Risolvere la che equivale al sistema:

disequazione : |x -9x+7| < 7

 − + <

2 9 7 7

 x x



 − + > −

2 9 7 7

x x

cioè

 − <

2 9 0

 x x



 − + >

2 9 14 0

x x

che risolto dà

: 0<x<2 e 7<x<9.

**Risolvere la disequazione :

−

2 5

x >1

+ 1

x

equivale alle due disequazioni :

− −

2 5 2 5

x x

> 1; < -1

+ +

1 1

x x

ossia alle due disequazioni : www.matematicamente.it