Insiemi di generatori

4 Insiemi di generatori

Sia dato uno spazio vettoriale V, e sia dato un suo sottoinsieme non vuoto X. Si dice che X è un insieme di generatori per V se per ogni v ∈ V esistono v₁,...,v_n ∈ X e λ₁,...,λ_n ∈ K tali per cui si abbia

v = ∑_i=1ⁿλ_iv_i.

Ciò che si sta dicendo è che i vettori di V si possono ricostruire a partire dai vettori di X. Se esiste un insieme di generatori X finito allora V si dice finitamente generato.

ESEMPIO: X = {(1,0), (0,1), (1,1)} è un insieme di generatori per R². Infatti per ogni v ∈ R² si ha

v = (v₁,v₂) = v₁(1,0) + v₂(0,1)

e dunque ogni vettore si scrive come combinazione lineare di vettori di X. R² (ed in generale anche Rⁿ) è quindi uno spazio vettoriale reale finitamente generato.