Insiemi di generatori

4 Insiemi di generatori

Sia dato uno spazio vettoriale V, e sia dato un suo sottoinsieme non vuoto X. Si dice che X è un insieme di generatori per V se per ogni v V esistono v₁, ..., v_n X e λ₁, ..., λ_n K tali per cui si abbia:

v = ∑_i=1ⁿ λ_iv_i.

Ciò che si sta dicendo è che i vettori di V si possono ricostruire a partire dai vettori di X. Se esiste un insieme di generatori X finito allora V si dice finitamente generato.

Esempio: X = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} è un insieme di generatori per ². Infatti per ogni v ² si ha:

v = (v₁, v₂) = v₁(1, 0) + v₂(0, 1)

e dunque ogni vettore si scrive come combinazione lineare di vettori di X. ² (ed in generale anche ⁿ) è quindi uno spazio vettoriale reale finitamente generato.

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