Indice
- EDO lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti (reali)
- EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili
- EDO lineare omogenea di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
- EDO lineare completa di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
- EDO lineare completa di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
- Equazione differenziale a variabili separabili
- Equazioni riconducibili a variabili separabili
- Equazioni riconducibili a variabili separabili
- Equazio e di Bernoulli
EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili
Un'EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili si scrive come
[math]y' = \alpha(x) y + \beta(x)[/math]
Detta
[math]A(x)[/math]
una primitiva di [math]\alpha(x)[/math]
, l'integrale generale dell'equazione è
[math]y(x) = e^{A(x)} [C + \int_{x_0}^{x} e^{- A(s)} \beta(s) ds][/math]
dove
[math]C[/math]
è una costante arbitraria reale.
Esempio: determinare l'integrale generale dell'equazione
[math]y' = \\cos(x) y + x e^{\\sin(x)}[/math]
. Risulta [math]\int \\cos(x) dx = \\sin(x) + c[/math]
, quindi una generica primitiva di [math]\\cos(x)[/math]
è [math]A(x) = \\sin(x)[/math]
. Inoltre [math]\int e^{-\\sin(x)} \cdot x \cdot e^{\\sin(x)} dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} + c[/math]
, quindi l'integrale generale dell'equazione differenziale è
[math]y(x) = e^{\\sin(x)} [c + \frac{x^2}{2}][/math]
EDO lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti (reali)
Un'EDO lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti (reali) si scrive come
[math]y'' + b y' + c y = 0[/math]
, con [math]b, c \in \mathbb{R}[/math]
- se
[math]b^2 - 4c > 0[/math]
, e se [math]\lambda_1, \lambda_2[/math]
sono le soluzioni (reali) dell'equazione [math]\lambda^2 + b \lambda + c = 0[/math]
, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è
[math]y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}[/math]
, [math]c_1[/math]
e [math]c_2[/math]
costanti arbitrarie
- se
[math]b^2 - 4c = 0[/math]
, e se [math]\lambda^{ \cdot \cdot }[/math]
è la soluzione (doppia) di [math]\lambda^2 + b \lambda + c = 0[/math]
, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è
[math]y(x) = c_1 e^{\lambda^{ \cdot \cdot } x} + c_2 x e^{\lambda^{ \cdot \cdot }}[/math]
, [math]c_1[/math]
e [math]c_2[/math]
costanti arbitrarie
- se
[math]b^2 - 4 c , e se >div class="mathjax-container">[math]\lambda_1 = \alpha + i \beta[/math]
e [math]\lambda_2 = \alpha - i \beta[/math]
sono le due soluzioni complesse coniugate di [math]\lambda^2 + b \lambda + c = 0[/math]
, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è
[math]y(x) = c_1 e^{\alpha x} \\cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \\sin(\beta x)[/math]
, [math]c_1[/math]
e [math]c_2[/math]
costanti arbitrarie
Esempi
Deteminare l'integrale generale dell'equazione
[math]y'' - 3y' + 2 = 0[/math]
. L'equazione [math]\lambda^2 - 3 \lambda + 2 = 0[/math]
ha come soluzioni [math]\lambda_1 = 1[/math]
e [math]\lambda_2 = 2[/math]
, pertanto l'integrale generale è
[math]y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x}[/math]
Determinare l'integrale generale dell'equazione
[math]y'' + 3y' + \frac{9}{4}y = 0[/math]
. L'equazione [math]\lambda^2 + 3 \lambda + \frac{9}{4} = 0[/math]
ha come soluzione (doppia) [math]\lambda^{ \cdot \cdot } = -\frac{3}{2}[/math]
, quindi l'integrale generale è
[math]y(x) = c_1 e^{-\frac{3}{2} x} + c_2 x e^{-\frac{3}{2} x}[/math]
Determinare l'integrale generale dell'equazione
[math]y'' + 2 y' + 8y = 0[/math]
. L'equazione [math]\lambda^2 + 2 \lambda + 8 = 0[/math]
ha come soluzioni [math]\lambda_1 = -1 + i \sqrt{7}[/math]
e [math]\lambda_2 = -1 - i \sqrt{7}[/math]
, quindi l'integrale generale è
[math]y(x) = c_1 e^{-x} \\cos(\sqrt{7} x) + c_2 e^{-x} \\sin{\sqrt{7} x}[/math]
EDO lineare omogenea di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
Un'EDO lineare omogenea di ordine
[math]n[/math]
a coefficienti costanti (reali) si scrive come
[math]a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = 0[/math]
, [math]a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}[/math]
e [math]a_n \ne 0[/math]
Il polinomio caratteristico associato all'equazione è
[math]p(\lambda) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + a_1 \lambda + a_0 = 0[/math]
. Il polinomio ha [math]n[/math]
radici complesse, ognuna contata con la propria molteplicità . Alle [math]n[/math]
radici sono associate [math]n[/math]
funzioni linearmente indipendenti che risolvono l'equazione differenziale.
- se
[math]\lambda_i[/math]
è una radice reale con molteplicità [math]1[/math]
, la corrispondente funzione che risolve l'EDO è [math]y_i(x) = e^{\lambda_i x}[/math]
- se
[math]\lambda_i = \alpha + i \beta[/math]
è una radice complessa, con molteplicità [math]1[/math]
, allora anche [math]\bar{\lambda_i} = \alpha - i \beta[/math]
è una radice complessa con molteplicità [math]1[/math]
, e le due funzioni relative a tali radici sono [math]y_{i1}(x) = e^{\alpha x} \\cos(\beta x)[/math]
e [math]y_{i2}(x) = e^{\alpha x} \\sin(\beta x)[/math]
- se
[math]\lambda_i[/math]
è una radice reale con molteplicità [math]k[/math]
, allora le [math]k[/math]
funzioni associate che risolvono l'EDO sono
[math]y_{i1} = e^{\lambda_i x} qquad y_{i2} = x e^{\lambda_i x} qquad \ldots qquad y_{ik}(x) = x^{k-1} e^{\lambda_i x}[/math]
- se
[math]\lambda_i = \alpha + i \beta[/math]
è una radice complessa con molteplicità [math]k[/math]
, allora anche [math]\bar{\lambda_i} = \alpha - i \beta[/math]
è una radice complessa con molteplicità [math]k[/math]
, e le [math]2k[/math]
funzioni associate a tali radici sono
[math]y_{11}(x) = e^{\alpha x} \\cos(\beta x), y_{12}(x) = e^{\alpha x} \\sin(\beta x)[/math]
[math]y_{21}(x) = x e^{\alpha x} \\cos(\beta x), y_{22}(x) = x e^{\alpha x} \\sin(\beta x)[/math]
[math]vdots[/math]
[math]y_{k1}(x) = x^{k-1} e^{\alpha x} \\cos(\beta x), y_{k2}(x) = x^{k-1} e^{\alpha x} \\sin(\beta x)[/math]
Con questa casistica si riescono a trovare
[math]n[/math]
soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea, [math]y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)[/math]
; l'integrale generale è una combinazione lineare di queste funzioni
[math]y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + \ldots + c_n y_n(x)[/math]
, [math]c_1, c_2, \ldots, c_n \in \mathbb{R}[/math]
Esempio: determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale
[math]y''' - y'' + 4 y' - 4 = 0[/math]
. Il polinomio caratteristico è
[math]p(\lambda) = \lambda^3 - \lambda^2 + 4 \lambda - 4 = (\lambda - 1) (\lambda^2 + 4)[/math]
Le radici del polinomio caratteristico sono
[math]\lambda_1 = 1[/math]
, [math]\lambda_2 = 2 i[/math]
, [math]\lambda_3 = - 2 i[/math]
, e le funzioni associate che risolvono l'omogenea sono
[math]y_1(x) = e^x qquad y_2(x) = \\cos(2x) qquad y_3(x) = \\sin(2x)[/math]
quindi l'integrale generale cercato è
[math]y_{\text{om}}(x) = c_1 e^x + c_2 \\cos(2x) + c_3 \\sin(2x)[/math]
, [math]c_1, c_2, c_3[/math]
costanti arbitrarie
EDO lineare completa di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
EDO lineare completa di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
Un'EDO lineare completa di ordine
[math]n[/math]
a coefficienti costanti (reali) si scrive come
[math]a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = f(x)[/math]
, [math]a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}[/math]
e [math]a_n \ne 0[/math]
Se
[math]y_{\text{om}}(x)[/math]
è l'integrale generale dell'omogenea associata, e [math]y_{\text{p}}[/math]
è una soluzione della completa, allora l'integrale generale della completa è
[math]y(x) = y_{\text{om}}(x) + y_{\text{p}}(x)[/math]
Metodo della variazione delle costanti
Questo metodo serve a trovare una soluzione particolare di una EDO lineare completa di ordine
[math]n[/math]
a coefficienti costanti. Se [math]y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)[/math]
(definite su un intervallo [math]I subseteq \mathbb{R}[/math]
) sono [math]n[/math]
soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea, si consideri la matrice
[math]W(x) = [(y_1(x), \quad y_2(x), \quad \ldots, \quad y_n(x)),(y_1'(x), \quad y_2'(x), \quad \ldots, \quad y_n'(x)),(vdots, \quad vdots, \quad ddots, \quad vdots),(y_1^{(n-1)}(x), \quad y_2^{(n-1)}(x), \quad \ldots, \quad y_n^{(n-1)}(x))][/math]
e il vettore
[math]F(x) = ((0),(0),(vdots),(0),(f(x)))[/math]
Poniamo
[math]C'(x) = ((c_1'(x)),(c_2'(x)),(vdots),(c_n'(x))) = W^{-1}(x) F(x)[/math]
Fissato
[math]x_0 \in I[/math]
, e posto [math]c_i(x) = \int_{x_0}^x c_i'(x) dx[/math]
, per [math]i = 1, 2, \ldots, n[/math]
, una soluzione particolare della completa è
[math]y_{\text{p}}(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x) + \ldots + c_n(x) y_n(x)[/math]
e l'integrale generale della completa è
[math]y(x) = (c_1(x) + k_1) y_1(x) + (c_2(x) + k_2) y_2(x) + \ldots + (c_n(x) + k_n) y_n(x)[/math]
, con [math]k_1, k_2, \ldots, k_n[/math]
costanti arbitrarie
Esempio: risolvere l'equazione differenziale
[math]y'' + y = \frac{1}{\\sin(x)}[/math]
. L'equazione omogenea è [math]y'' + y = 0[/math]
, il polinomio caratteristico è [math]p(\lambda) = \lambda^2 + 1 = 0[/math]
, le cui radici sono [math]\lambda_{1,2} = \\pm i[/math]
. Le funzioni associate a tali radici sono [math]y_1(x) = \\cos(x)[/math]
e [math]y_2(x) = \\sin(x)[/math]
, e l'integrale generale dell'omogenea è [math]y_{\text{om}}(x) = k_1 \\cos(x) + k_2 \\sin(x)[/math]
.
[math]y_1(x) = \\cos(x) qquad y_1'(x) = -\\sin(x)[/math]
[math]y_2(x) = \\sin(x) qquad y_2'(x) = \\cos(x)[/math]
La matrice
[math]W[/math]
e il vettore [math]F[/math]
risultano pari a
[math]W(x) = [(\\cos(x), \quad \\sin(x)),(-\\sin(x), \quad \\cos(x))] qquad F(x) = ((0),(\frac{1}{\\sin(x)}))[/math]
L'inversa della matrice
[math]W[/math]
è
[math]W^{-1}(x) = 1 \cdot [(\\cos(x), \quad -\\sin(x)),(\\sin(x), \quad \\cos(x))][/math]
quindi
[math]W^{-1}(x) F(x) = [(\\cos(x), \quad \\sin(x)),(-\\sin(x), \quad \\cos(x))] ((0),(\frac{1}{\\sin(x)})) = ((-1),(\text{cotg}(x)))[/math]
[math]c_1'(x) = -1[/math]
, [math]c_1(x)= \int_{x_0}^x (-1) dx = x_0 - x[/math]
[math]c_2'(x) = \text{cotg}(x)[/math]
, [math]c_2(x) = \int_{x_0}^x \text{cotg}(x) dx = ln(|\\sin(x)|) - ln(|\\sin(x_0)|)[/math]
Quindi una soluzione particolare della completa è
[math]y_{\text{p}}(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x) \implies y_{\text{p}}(x) = (x_0 - x) \\cos(x) + (ln(|\\sin(x)|) - ln(|\\sin(x_0)|)) \\sin(x)[/math]
e l'integrale generale della completa è
[math]y(x) = y_{\text{om}}(x) + y_{\text{p}}(x) \implies y(x) = k_1 \\cos(x) + k_2 \\sin(x) + (x_0 - x) \\cos(x) + (ln(|\\sin(x)|) - ln(|\\sin(x_0)|)) \\sin(x)[/math]
([math]x \in (0, \\pi)[/math]
per l'esistenza del logaritmo)
che equivale a
[math]y(x) = k_1 \\cos(x) + k_2 \\sin(x) - x \\cos(x) + ln(|\\sin(x)|) \\sin(x)[/math]
data l'arbitrarietà delle costanti
[math]k_1[/math]
e [math]k_2[/math]
.
Equazione differenziale a variabili separabili
Un'equazione differenziale a variabili separabili è un'equazione differenziale del I ordine del tipo
[math]y' = g(x) h(y)[/math]
Le soluzioni si determinano studiando questi due casi:
- tutte le funzioni costanti
[math]y equiv y_0[/math]
, tali che [math]h(y_0) = 0[/math]
, sono soluzioni dell'equazione differenziale
- se
[math]H(y)[/math]
è una primitiva di [math]\frac{1}{h(y)}[/math]
e [math]G(x)[/math]
è una primitiva di [math]g(x)[/math]
, le funzioni definite implicitamente da [math]H(y) = G(x) + C[/math]
, al variare di [math]C \in \mathbb{R}[/math]
, sono soluzioni dell'equazione differenziale. In particolare, se [math]H[/math]
è iniettiva tali funzioni si scrivono come [math]y(x) = H^{-1}(G(x) + C)[/math]
.
Esempio: risolvere l'equazione
[math]y' = x y^2[/math]
. Dato che [math]y^2 = 0 \implies y = 0[/math]
, allora la funzione costante [math]y equiv 0[/math]
è soluzione dell'equazione differenziale. Dividendo per [math]y^2[/math]
si ottiene [math]\frac{y'}{y^2} = x[/math]
, e integrando ambo i membri [math]\int \frac{y'}{y^2} dx = - \frac{1}{y} + c_1[/math]
, [math]\int x dx = \frac{x^2}{2} + c_2[/math]
. Da [math]-\frac{1}{y} + c_1 = \frac{x^2}{2} + c_2[/math]
segue
[math]y(x) = \frac{1}{\frac{x^2}{2} + c}[/math]
(dove si è posto
[math]c = c_2 - c_1[/math]
) e, assieme alla soluzione costante [math]y equiv 0[/math]
, rappresenta la soluzione dell'equazione differenziale.
Equazioni riconducibili a variabili separabili
Equazioni riconducibili a variabili separabili
1° caso
[math]y' = f(ax + by)[/math]
, [math]a, b \ne 0[/math]
Sostituzione
[math]z(x) = a x + b y(x)[/math]
, da cui [math]z'(x) = a + b y'(x)[/math]
, ottenendo
[math]z' = a + b f(z)[/math]
che è a variabili separbili con
[math]g(x) = 1[/math]
, [math]h(z) = a + b f(z)[/math]
.
Esempio: risolvere l'equazione differenziale
[math]y' = (x + y)^2 - (x + y) - 1[/math]
. Ponendo [math]z = x + y[/math]
, e osservando che [math]z' = 1 + y'[/math]
, si ottiene
[math]z' = 1 + y' \implies z' = 1 + (x+y)^2 - (x + y) - 1 \implies [/math]
z' = z^2 - z[math]
z equiv 0
Questa è un'equazio
e a variabili separabili, le cui soluzioni \\cos\\tanti sono [/math]
[math], da cui segue [/math]
y = -x[math], e [/math]
z equiv 1[math] da cui segue [/math]
y = 1 - x[math]. Per trovare le altre soluzioni, si divide ambo i membri per [/math]
z^2 - z[math], otte
endo
frac{z'}{z^2 - z} = 1endo
[/math]
[math] >p> >/p> >p> Integrando ambo i membri si trova >/p> >p> >/p> >p> [/math]
ln(|1 - frac{1}{z}|) = x + c implies |1 - frac{1}{z}| = e^c cdot e^x = k cdot e^x[math], con [/math]
c in mathbb{R}[math] e [/math]
k in mathbb{R}^+[math] >p> >/p> >p> Togliendo il valore assolu o (vis o che [/math]
k e^x ge 0 quad forall x in mathbb{R}[math]) e risolvendo rispet o a [/math]
z[math] si trova [/math]
z(x) = frac{1}{1 - k e^x}[math] da cui >p> >/p> >p> [/math]
y(x) = frac{1}{1 - k e^x} - x[math] >p> >/p> >p> >strong>2° caso>/strong> >/p> >p> >/p> >p> [/math]
y' = f(frac{y}{x})[math]
z(x) = frac{y(x)}{x}
Sostituzio
e [/math]
[math], da cui [/math]
x cdot z(x) = y(x)[math] e [/math]
z + x z' = y'[math], otte
endo
z' = frac{1}{x} (f(z) - z)endo
[/math]
[math] >p> >/p> >p> che è a variabili separabili con [/math]
g(x) = frac{1}{x}[math] e [/math]
h(z) = f(z) - z[math].
y' = frac{4y}{3x} - frac{8 x^2}{3 y^2}
Esem\pio: risolvere dell'equazio
e [/math]
[math]. Po
endo [/math]
z = frac{y}{x}endo [/math]
[math], da cui [/math]
y = x cdot z[math] e [/math]
y' = z + x cdot z'[math], si ottie
e
y' = z' x + z implies z' x = y' -z implies z' x = frac{4}{3} z - frac{8}{3} z^{-2} - z = frac{z^3 - 8}{3 z^2}e
[/math]
[math] >p> >/p> >p> da cui >/p> >p> >/p> >p> [/math]
frac{3 z^2}{z^3 - 8} z' = frac{1}{x}[math]
z equiv 2
L'unica soluzio
e \\cos\\tante è [/math]
[math], a cui corrisponde [/math]
y(x) = 2x[math]. Integrando ambo i membri si ottie
e
int frac{1}{x} dx = ln(|x|) + c_1e
[/math]
[math],[/math]
c_1 in mathbb{R}[math] >p> >/p> >p> [/math]
int frac{3 z^2}{z^3 - 8} z' dx = ln(|z^3 - 8|) + c_2[math], [/math]
c_2 in mathbb{R}[math] >p> >/p> >p> Pos o [/math]
c = c_1 - c_2[math], uguagliando i risultati, e ricordando che [/math]
z = frac{y}{x}[math], si ottie
e
ln(|frac{y^3(x)}{x^3} - 8|) = ln(|x|) + ce
[/math]
[math] >p> >/p> >p> da cui >/p> >p> >/p> >p> [/math]
|frac{y^3(x)}{x^3} - 8| = e^{ln(|x|)} cdot e^c implies frac{y^3(x)}{x^3} - 8 = k cdot |x| implies y(x) = x oot{3}{k |x| + 8}
[math] >p> >/p> >p> dove si è pos o, per comodità , [/math]
k = e^c[math]. >p> >/p> >p> >strong>3° caso>/strong> >/p> >p> >/p> >p> [/math]
y' = f(frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2})[math], con [/math]
a_1 b_2 e a_2 b_1
[math] >p> >/p> >p> Detta [/math]
(x_0, y_0)[math] la soluzio
e del sistema
{(a_1 x + b_1 y + c_1 = 0),(a_2 x + b_2 y + c_2 = 0):}e del sistema
[/math]
[math]
x = u + x_0
si opera la sostituzio
e [/math]
[math], [/math]
y = v + y_0[math], da cui [/math]
frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} = frac{a_1 u + b_1 v}{a_2 u + b_2 v} = frac{a_1 + b_1 frac{v}{u}}{a_2 + b_2 frac{v}{u}}[math], otte
endo
v' = f(frac{a_1 + b_1 frac{v}{u}}{a_2 + b_2 frac{v}{u}})endo
[/math]
[math]
z(u) = frac{v(u)}{u}
che diventa a variabili separabili con la sostituzio
e [/math]
[math], come
el caso precedente.
y' = frac{y - x - 2}{y + x}el caso precedente.
Esem\pio: risolvere [/math]
[math]. Le rette di equazio
e [/math]
y - x - 2 = 0e [/math]
[math] e [/math]
y + x = 0[math] si intersecano
el pun o [/math]
(x,y) = (-1,1)el pun o [/math]
[math], quin di convie
e fare la trasformazio
e
{(u = x + 1),(v = y - 1):} implies {(x = u - 1),(y = v + 1):}e fare la trasformazio
e
[/math]
[math] >p> >/p> >p> [/math]
v(u) = y(x) - 1 implies v(u) = y(u - 1) - 1[math], derivando si ottie
e [/math]
y' = v'e [/math]
[math], da cui >p> >/p> >p> [/math]
v' = frac{v + 1 - u + 1 - 2}{v + 1 + u - 1} implies v' = frac{v - u}{v + u} implies v = frac{frac{v}{u} - 1}{frac{v}{u} + 1}[math]
z(u) = frac{v(u)}{u}
Po
endo [/math]
[math], da cui [/math]
v(u) = u cdot z(u) implies v' = z' + u z[math], si ottie
e
z' u = v' - z implies z' u = frac{z-1}{z+1} - z implies z' u = frac{-z^2 - 1}{z+1} implies frac{z+1}{z^2 + 1} z' = -frac{1}{u}e
[/math]
[math] >p> >/p> >p> Integrando ambo i membri si trova >/p> >p> >/p> >p> [/math]
frac{1}{2} ln(z^2 + 1) + "arctg"(z) = - ln(|u|) + c[math], [/math]
c[math] \\cos\\tante arbitraria >p> >/p> >p> e ricordando le sostituzioni [/math]
z = frac{v}{u} = frac{y-1}{x+1}[math] si arriva a >p> >/p> >p> [/math]
frac{1}{2} ln((frac{y-1}{x+1})^2 + 1) + "arctg"(frac{y-1}{x+1}) = - ln(|x+1|) + c[math], [/math]
c[math] \\cos\\tante arbitraria >p> >/p> >p> Tutte le funzioni [/math]
y = y(x)[math] defin ite implicitamente dalla relazio
e precedente soddisfano l'equazio
e differenziale.Equazio
y' = alpha(x) y + eta(x) y^se precedente soddisfano l'equazio
e differenziale.
Equazio
e di Bernoulli
Un'equazio
e di Bernoulli è un'equazio
e differenziale del tipo
[/math]
[math], con [/math]
s e 0
[math] e [/math]
s e 1
[math]
z(x) = y^{1-s}(x)
Sostituzio
e [/math]
[math], da cui e [/math]
z'(x) = (1 - s) y^{-s}(x) y'(x)[math], otte
endo \\così
z'(x) = (1 - s) y^{-s}(x) [alpha(x) y + eta(x) y^s(x)] implies z' = (1 - s) alpha(x) z + (1 - s) eta(x)endo \\così
[/math]
[math]
y' = 2 "tg"(x) y + 2 sqrt{y}
che è un'EDO li
eare del I ordi
e a coefficienti variabili.
Esem\pio: risolvere l'equazio
e differenziale [/math]
[math], con [/math]
y ge 0[math] e [/math]
x e frac{pi}{2} + k pi
[math], [/math]
k in mathbb{Z}[math]. Po
endo [/math]
z = y^{1 - frac{1}{2}} = y^{frac{1}{2}} = sqrt{y}endo [/math]
[math] si ottie
e [/math]
z' = frac{1}{2 sqrt{y}} y'e [/math]
[math] e l'equazio
e diventa
z' = frac{1}{2 sqrt{y}} [2 "tg"(x) y + 2 sqrt{y}] implies z' = "tg"(x) sqrt{y} + 1 implies z' = "tg"(x) z + 1e diventa
[/math]
[math]
alpha(x) = "tg"(x)
Questa è una EDO del I ordi
e, con [/math]
[math], [/math]
eta(x) = 1[math]. Integrandola con la formula ge
eraleper le EDO li
eari del I ordi
e si trova
z(x) = frac{c}{|cos(x)|} + "tg"(x)eraleper le EDO li
eari del I ordi
e si trova
[/math]
[math] >p> >/p> >p> e ricordando che [/math]
y(x) = z^2(x)[math] si ottie
e
y(x) = (frac{C}{|cos(x)|} + "tg"(x))^2$ e
[/math]
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