Diagonalizzazione

12 Diagonalizzazione

→

Un’applicazione lineare f : V V si dice diagonalizzabile se esiste una base di V

rispetto alla quale la matrice che rappresenta f è una matrice diagonale. Vi sono

vari criteri di diagonalizzazione di un’applicazione lineare.

→

Un’applicazione lineare f : V V è diagonalizzabile se e

Primo criterio.

solo se esiste una base in V formata da autovettori di f .

Dimostrazione. Supponiamo f diagonalizzabile; allora esiste una base

{b }

B = , . . . , b

1 n

di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta f è diagonale. Ma allora per

definizione di matrice rappresentativa si ha

f (b ) = a b , . . . , f (b ) = a b

1 1 1 n n n

∈

per certi coefficienti a , . . . , a Ne segue che b , . . . , b sono autovettori per

K.

1 n 1 n

{b }

f . Viceversa supponiamo che esista una base B = , . . . , b di V formata da

1 n

autovettori di f ; allora f (b ) = a b , . . . , f (b ) = a b

1 1 1 n n n

∈

per certi coefficienti a , . . . , a Dunque la matrice che rappresenta f rispetto

K.

1 n

a B è diagonale. →

Un’applicazione lineare f : V V è diagonalizzabile se

Secondo criterio.

e solo se V è somma diretta degli autospazi.

Dimostrazione. Supponiamo f diagonalizzabile; allora esiste una base di autovet-

tori b , . . . , b per cui è ovvio che V si decompone nella somma diretta degli au-

1 n

tospazi associati agli autovettori b . Viceversa se V si decompone nella somma

i

diretta di autospazi V , . . . , V allora se denotiamo con B , . . . , B basi disgiunte

1 k 1 k

∪ · · · ∪

rispettivamente degli spazi V , . . . , V , si ha che B = B B è una base per

1 k 1 k

V formata da autovettori di f . 3 3

→

Per il secondo criterio l’applicazione f : rappresentata rispetto

Esempio. R R

alla base canonica dalla matrice  

1 2 0

0 3 0 .

 

−4

2 2

è diagonalizzabile. Infatti abbiamo verificato che ammette tre autovalori distinti,

e di conseguenza le dimensioni degli autospazi sono tutte pari a 1. Essendo gli

autospazi in somma diretta ed essendo V di dimensione 3 si conclude.

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