Diagonalizzazione

12 Diagonalizzazione

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Un’applicazione lineare f : V V si dice diagonalizzabile se esiste una base di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta f è una matrice diagonale. Vi sono vari criteri di diagonalizzazione di un’applicazione lineare.

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Primo criterio

Un’applicazione lineare f : V V è diagonalizzabile se e solo se esiste una base in V formata da autovettori di f.

Dimostrazione. Supponiamo f diagonalizzabile; allora esiste una base

B = {b₁, . . . , b_n}

di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta f è diagonale. Ma allora per definizione di matrice rappresentativa si ha

f (b₁) = a₁b₁, . . . , f (b_n) = a_nb_n

∈

per certi coefficienti a₁, . . . , a_n ∈ K. Ne segue che b₁, . . . , b_n sono autovettori per f. Viceversa supponiamo che esista una base B = {b₁, . . . , b_n} di V formata da autovettori di f; allora f (b₁) = a₁b₁, . . . , f (b_n) = a_nb_n

∈

per certi coefficienti a₁, . . . , a_n ∈ K. Dunque la matrice che rappresenta f rispetto a B è diagonale.

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Secondo criterio

Un’applicazione lineare f : V V è diagonalizzabile se e solo se V è somma diretta degli autospazi.

Dimostrazione. Supponiamo f diagonalizzabile; allora esiste una base di autovettori b₁, . . . , b_n per cui è ovvio che V si decompone nella somma diretta degli autospazi associati agli autovettori b_i. Viceversa se V si decompone nella somma diretta di autospazi V₁, . . . , V_k allora se denotiamo con B₁, . . . , B_k basi disgiunte rispettivamente degli spazi V₁, . . . , V_k, si ha che B = B₁ ∪ · · · ∪ B_k è una base per V formata da autovettori di f.

3 3

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Esempio

Per il secondo criterio l’applicazione f : R R rappresentata rispetto alla base canonica dalla matrice



1 2 0

0 3 0 .

 

−4

2 2

è diagonalizzabile. Infatti abbiamo verificato che ammette tre autovalori distinti, e di conseguenza le dimensioni degli autospazi sono tutte pari a 1. Essendo gli autospazi in somma diretta ed essendo V di dimensione 3 si conclude.

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