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Quattro operazioni con numeri naturali-esercizi commentati
Le espressioni (relativamente al programma di prima media) sono un insieme di numeri naturali messi in relazione tra loro dalle 4 operazioni: somma, moltiplicazione, differenza e divisione. Non possiamo svolgere le operazioni così come vogliamo dentro l’equazione, ma per ottenere un risultato corretto dobbiamo seguire alcune regole. Tali regole si basano essenzialmente sull’ordine delle operazioni da svolgere. Infatti, se una espressione è senza parentesi, il primo passaggio è sottolineare le moltiplicazioni e le divisioni. Queste operazioni devono essere svolte per prime, tra i numeri che sono a sinistra e a destra del segno. I risultati si riscrivono nel primo passaggio, sotto la traccia, mentre le altre operazioni (con i relativi numeri) si riscrivono. Nel secondo passaggio, se non abbiamo più operazioni di moltiplicazione e divisione, eseguiamo ogni operazione restante (di somma e differenza) una alla volta per ogni passaggio, nell’ordine in cui le leggiamo da sinistra a destra. Se non facessimo così, otterremmo un risultato errato e spesso negativo. In prima media, le espressioni hanno solo risultati positivi. Il nostro obiettivo è ottenere un unico numero come risultato finale.
Ricordare che in ogni riga si scrive un solo passaggio, mentre si va a capo per scrivere i passaggi successivi. Al termine di ogni passaggio, inclusa la traccia, e all’inizio di ogni passaggio, esclusa la traccia, si scrive il segno di “=” .
Se nell’espressione compaiono le parentesi tonde, si svolgono le operazioni dentro le parentesi e tutto il resto si riscrive, fino a che dentro le parentesi non rimane che un numero solamente. A questo punto l’unico numero dentro le parentesi tonde si riscrive ma senza parentesi. Abbiamo così eliminato le parentesi tonde. Ugualmente viene fatto per le parentesi quadre e graffe, secondo la seguente regola di precedenza: operazioni in parentesi tonde, poi operazioni in parentesi quadre (intanto abbiamo eliminato le tonde), poi operazioni in parentesi graffe (intanto abbiamo eliminato le tonde). Nel risultato finale ovviamente non compaiono parentesi.
Nota bene che se svolgendo l’espressione ci ritroviamo a dividere o sottrarre un numero minore per un numero maggiore, allora abbiamo commesso errore di calcolo e dobbiamo ricontrollare i passaggi precedenti. Nelle espressioni più lunghe, è bene prima sottolineare le operazioni da eseguire per ogni passaggio e poi eseguirle, così da avere un metodo più semplice per lavorare.
Espressioni svolte e commentate con numeri naturali, 4 operazioni e parentesi
6 · (4 - 2 + 10 : 5) : 2 =
svolgere la divisione 10 : 5 dentro le parentesi tonde, il resto si riscrive
= 6 · (4 - 2 + 2) : 2 =
svolgere la prima operazione dentro le parentesi tonde, cioè 4 – 2, il resto si riscrive
= 6 · (2 + 2) : 2 =
svolgere l’operazione dentro le parentesi tonde, cioè 2 + 2, il resto si riscrive, eliminare le
parentesi
= 6 · 4 : 2 =
svolgere la prima operazione, il resto si riscrive
= 24 : 2 =
= 12
6 · 4 - 2 + 10 : 5 : 2 =
sottolineare le operazioni di moltiplicazione e divisione, eseguire solo queste operazioni tra i
numeri a destra e sinistra del segno · o : , il resto si riscrive
= 24 - 2 + 2 : 2 =
= 24 - 2 + 1 =
fare solo la prima operazione che si incontra, cioè 24 – 2
=22 + 1 =
= 23
(7 · 7 - 9) · 2 : 4 + 11 =
svolgere la moltiplicazione 7 · 7 dentro le parentesi tonde, il resto si riscrive
= ( 49 - 9) · 2 : 4 + 11 =
svolgere l’operazione dentro le parentesi tonde
=40· 2 : 4 + 11 =
sottolineare le operazioni di moltiplicazione e divisione, eseguire solo queste operazioni tra i
numeri a destra e sinistra del segno · o : , il resto si riscrive
= 80 : 4 + 11 =
= 20 + 11 =
=31
10· 5 + 4· 7 - 5· 9 =
sottolineare le moltiplicazioni e svolgerle
= 50 + 28 - 45 =
fare la prima operazione che si incontra, cioè 50+28
= 78 - 45 =
= 33
28 · 2 + 17 · 4 - 8 + 4 =
sottolineare le moltiplicazioni e svolgerle, il resto si riscrive
= 56 + 68 – 8 + 4 =
fare la prima operazione che si incontra, cioè 56 + 68
= 124 – 8 + 4 =
fare la prima operazione che si incontra, cioè 124 – 8
= 116 + 4 =
= 120
5 + 3 · 4 + 7 - 2 · 5 + 21 - 6 =
sottolineare le moltiplicazioni e svolgerle, il resto si riscrive
= 5 + 12 + 7 – 10 + 21 – 6 =
fare la prima operazione che si incontra, cioè 5+12
= 17 + 7 – 10+ 21 -6 =
fare la prima operazione che si incontra, cioè 17 + 7
= 24 – 10 +21 -6 =
fare la prima operazione che si incontra, cioè 24 – 10
= 14 + 21 – 6 =
fare la prima operazione che si incontra, cioè 14 + 21
= 35 – 6 =
= 29
Ecco altri esempi.
10· 2· 100 - 2 · 5 - 7 · 4 · 16 =
= 2000 – 10 – 448 =
= 1990 – 448 =
= 1542
190 - 17 · 2 + 28 ·3 - 12 · 4 - 6 =
= 190 – 34 + 84 – 48 -6 =
= 156 + 84 – 48 -6 =
= 240 – 48 – 6 =
= 192 – 6 =
= 186
18 + 2 · 6 · 1 + 17 · 5 · 0 - 3 · 7 + 1 =
= 18 + 12 + 0 – 21 + 1=
= 30 – 21 +1 = 9 + 1 =
= 10
3 ∙ ( 3 + 3 ∙ 3 ∙ 3 + 3 ) - 3 ∙ ( 3 + 3 + 3 ) + 3 ∙ ( 3 ∙ 3 – 3 )=
= 3 ∙ (3 + 9 ∙ 3 + 3) – 3 ∙ ( 6 + 3 ) + 3 ∙ ( 9 – 3 ) =
= 3 ∙ ( 3 + 27 + 3 ) - 3 ∙ 9 + 3 ∙ 6 =
= 3 ∙ ( 30 + 3 ) - 3 ∙ 9 + 3 ∙ 6 =
=3∙ 33 – 3 ∙ 9 + 3 ∙ 6 =
=99 – 27 + 18 =
=72 + 18 =
= 90
5 ∙ 4 - ( 10 + 3 + 3 ) + 18 - ( 12 + 2 ) + 16 - ( 19 – 1 ) =
= 5 ∙ 4 - ( 13 + 3 ) + 18 – 14 + 16 – 18 =
= 5 ∙ 4 – 16 + 18 – 14 + 16 – 18 =
= 20 – 16 + 18 – 14 + 16 – 18 =
= 4 + 18 – 14 + 16 – 18 =
= 22
6 ∙ 4 – ( 3 + 2 ∙ 5 + 7 ) - ( 5 – 3 ) + 6 - ( 10 – 3 – 2 – 1 – 0 ) =
= 6 ∙ 4 - ( 3 + 10 + 7 ) - 2 + 6 – ( 7 – 2 – 1 – 0 ) =
= 6 ∙ 4 – ( 13 + 7 ) - 2 + 6 – ( 5 – 1 – 0 ) =
= 6 ∙ 4 – 20 - 2 + 6 – ( 4 – 0 ) =
= 6 ∙ 4 – 20 - 2 + 6 – 4 =
= 24 – 20 - 2 + 6 – 4 =
= 4 - 2 + 6 – 4 =
= 2 + 6 – 4
= 4
Ecco alcuni esempi con le parentesi tonde, quadre e graffe.
( 11 ∙ 3 – 3 ∙ 8 ) ∙ [ 14 ∙ 3 - ( 9 ∙ 5 + 3 – 20 ) ] - 12 ∙ ( 13 ∙ 9 – 4 ∙ 27 ) =
( 33 – 3 ∙ 8 ) ∙ [ 14 ∙ 3 - ( 45 + 3 – 20 ) ] - 12 ∙ ( 117 – 4 ∙ 27 ) =
( 33 – 24 ) ∙ [ 14 ∙ 3 - ( 48 – 20 ) ] - 12 ∙ ( 117 – 108 ) =
9 ∙ [ 14 ∙ 3 – 28 ] - 12 ∙ 9 =
9 ∙ [ 42 – 28 ] - 12 ∙ 9 =
9 ∙ 14 – 12 ∙ 9 =
126 – 12 ∙ 9 =
126 – 108 = 18
5 ∙ 13 - { [ ( 6 ∙ 7 – 3 ∙ 5 ) - 7 ∙ 3 ] ∙ 2 - ( 7 ∙ 2 – 2 ∙ 3 ) + 2 ∙ 4 } =
= 5 ∙ 13 - { [ ( 42 – 3 ∙ 5 ) - 7 ∙ 3 ] ∙ 2 - ( 14 – 2 ∙ 3 ) + 2 ∙ 4 } =
= 5 ∙ 13 -{ [ ( 42 – 15 ) - 7 ∙ 3 ] ∙ 2 - ( 14 – 6 ) + 2 ∙ 4 } =
= 5 ∙ 13 - { [ 27 – 7 ∙ 3 ] ∙ 2 - 8 + 2 ∙ 4 } =
= 5 ∙ 13 - { [ 27 – 21 ] ∙ 2 - 8 + 2 ∙ 4 } =
= 5∙ 13 - { 6 ∙ 2 - 8 + 2 ∙ 4 } =
= 5 ∙ 13 - { 12 – 8 + 2 ∙ 4 } =
= 5 ∙ 13 – { 12 – 8 + 8 }=
= 5 ∙ 13 - {4 + 8 } =
= 5 ∙ 13 - 12 =
= 5 ∙ 13 – 12 =
65 – 12 = 53
32 + { 95 – 2 ∙ [ ( 7 ∙ 11 – 5 ∙ 14 ) ∙ 5 + 1 ] } ∙ 3 - ( 100 – 1 ) =
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