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Tesi di laurea in matematica sui tre problemi impossibili della matematica classica: la duplicazione del cubo, la trisezione dell'angolo e la quadratura del cerchio. Per più di 2000 anni lo sforzo di tanti matematici per risolvere questi problemi con i metodi classici di riga e compasso sono stati vani ma le dimostrazioni rigorose di questa impossibilità è arrivata soolo alla fine del XIX secolo. Queste dimostrazioni sono oggetto della tesi di laurea.
Introduzione
Fin da quando frequentavo la scuola elementare sono sempre stato a affascinato dal compasso e dalle figure geometriche che con esso si possono disegnare. Il divertimento nella costruzione dei poligoni regolari e una strana passione per il numero sette però mi portarono presto di fronte a una domanda: come mai per quanto ci provassi non riuscivo a costruire un poligono di sette lati? Continuando gli studi scoprii che non ero il solo ad essermi posto questo tipo di problema e che anzi ne esistevano altri tre affini al mio, risalenti all'antichità. La loro storia merita di essere raccontata.
Era l'anno 429 a.C. quando Pericle, celebre stratega, morì durante un'epidemia di peste assieme ad un quarto del popolo ateniese. Durante tale pandemia, per placare l'ira degli dei che si credeva ne fossero artefici, una delegazione di ateniesi and o ad interpellare l'oracolo di Apollo a Delo. Egli fu chiaro: se i sacerdoti avevano a cuore il futuro di Atene e dei suoi abitanti, allora l'altare cubico del dio della medicina avrebbe dovuto essere raddoppiato, senza che però ne fosse modificata la forma originale. I sacerdoti si misero immediatamente al lavoro e duplicarono la lunghezza degli spigoli del monumento. Inaspettatamente l'epidemia, anziché estinguersi, raggiunse i vertici della sua gravità. Pareva quindi che gli dei non volessero più ragionare; fu allora interpellato l'uomo che sarà ricordato come l'unico saggio: Platone. Egli sostenne che Apollo avesse voluto punire i sacerdoti per la loro ignoranza, infatti il volume dell'altare cubico era stato moltiplicato per otto e non raddoppiato. A quel punto i migliori geometri, con i loro mezzi, cioè riga e compasso, si misero alla ricerca di una soluzione. Secondo la leggenda fu questa l'origine del problema della duplicazione del cubo, noto anche come “problema di Delo". Nonostante gli sforzi, però, nessuno riuscì mai a risolverlo, cioè a trovare la lunghezza del lato che avrebbe reso il volume del cubo doppio di quello iniziale.
Durante la stessa epoca, sempre ad Atene, era stato posto un altro problema: la trisezione dell'angolo, nel quale si richiede il taglio di un angolo in tre angoli interni di uguale ampiezza. Archimede fu il primo a trovare una soluzione, che prevedeva però l'uso di una riga graduata. Coloro i quali perseverarono nella ricerca di una soluzione con il solo uso della riga non graduata e del compasso non giunsero mai ad un risultato.
Ecco il terzo celebre problema affine ai due già proposti: la quadratura del cerchio. Esso consiste nella ricerca di un procedimento per costruire un quadrato con la stessa area di un cerchio dato, con il solo aiuto di riga e compasso. Analogamente si può considerare il problema di trovare un segmento di lunghezza pari a quella di una circonferenza data. La ricerca della soluzione esatta è stata un inutile sforzo per i matematici dei secoli successivi, fino ad essere considerata la metafora di un'impresa disperata, al punto che Dante, al cospetto della visione divina rappresentata nelle sue terzine, si paragona al geometra che tenta di quadrare il cerchio, aggrappato alla fede nell'esistenza di una soluzione:
Qual è 'l geometra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova;
ma non eran da ciò le proprie penne:
se non che la mia mente fu percossa
da un fulgore in che sua voglia venne.
Rimasi sorpreso nello scoprire che, per più di 2000 anni di storia, gli sforzi per risolvere i tre problemi esposti, nonché la costruzione di alcuni poligoni, come quello di 7 lati che cercai con ostinazione, furono tutti vani. Non solo infatti questi non sono risolubili con il solo uso di riga e compasso, ma la dimostrazione rigorosa dell'impossibilità arrivò solo intorno alla fine del diciannovesimo secolo; tale dimostrazione è l'argomento della mia tesi.
Indice
1 Costruzioni euclidee
1.1 Definizioni
1.2 Esempi fondamentali
1.2.1 Retta perpendicolare ad una retta data
1.2.2 Sistema di assi cartesiani
1.2.3 Bisettrice di un quadrante
1.2.4 Punto medio
1.2.5 Retta parallela ad una retta data, per un punto dato
1.2.6 Manipolazione di due segmenti
1.2.7 Radice quadrata di un segmento dato
2 Numeri euclidei
2.1 Costruzioni euclidee nel piano reale
2.2 Caratterizzazione di E
2.3 Conseguenze
3 Il problema della ciclotomia
3.1 Poligoni regolari e numeri complessi
3.2 Radici n-esime dell'unità ed estensioni ciclotomiche
3.3 Numeri di Fermat
3.4 Alcuni esempi
3.4.1 Costruzione del decagono e del pentagono
3.4.2 Costruzione dell'eptadecagono
4 Tre problemi impossibili
4.1 Duplicazione del cubo
4.2 Trisezione dell'angolo
4.3 Trascendenza di e e di pigreco
4.4 Quadratura del cerchio
4.5 Rettificazione della circonferenza
Q]
n+1 s
∈
Quindi si ha che α è algebrico ed il suo grado divide 2 cioè equivale
E
n+1
k
a 2 per qualche k. 4
Osservazione 2.3.1. Si ricordi che il grado di una estensione algebri-
ca semplice è uguale al grado del polinomio minimo dell’elemento algebrico
mediante il quale si fa l’estensione.
2 infatti il grado del polinomio minimo del generico a su divide [F, per estensione
K K], F
finita di K
3 Da [11] Corollario 7.5 di pag. 25
4 Da [11] Esempio 6.9 di pag. 18 21
2.Numeri euclidei
5
Corollario 2.3.2. Se un numero reale β è radice di un polinomio irri-
ducibile di grado n che non è una potenza di 2, allora β non è un numero
euclideo.
Dimostrazione. Sia β numero reale radice di un polinomio irriducibile f (x)
di grado n, allora f (x) è il suo polinomio minimo. Da ciò, segue che
k
6
[Q(β), = n = 2 , quindi α non può appartenere ad un ampliamento
Q]
algebrico di grado una potenza di 2, come dovrebbe avvenire se β fosse
costruibile.
5 Da [9] Proposizione 7.1.12 di pag. 346 22
Capitolo 3
Il problema della ciclotomia
In questo capitolo si trova una risposta al problema della ciclotomia, che
∈
può essere formulato con la seguente domanda: per quali n è possibile
N
costruire il poligono regolare di n lati con riga e compasso?
3.1 Poligoni regolari e numeri complessi
Si considera l’insieme delle costruzioni euclidee, immerse nel piano di Gauss
tramite I E(P −→
: , P ) C
c 0 1 I,
che possiede caratteristiche analoghe a quelle di funzione definita in 2.1.1.
Si considerano i poligoni regolari nel piano complesso inscritti nella circon-
ferenza unitaria centrata nell’origine e aventi un vertice nel punto (1, 0).
In questo modo tutti i vertici di tali poligoni sono dati da potenze enne-
sime di numeri complessi e in particolare sono soluzioni di una equazio-
ne polinomiale. Per verificare quanto affermato, si considerano da [12] le
seguenti:
Proprietà 3.1.1. (Potenze n-esime di un numero complesso) Sia z = (ρ, θ)
n
∈
un numero complesso espresso in coordinate polari e sia n allora z =
N,
n
(ρ , nθ)
Proprietà 3.1.2. (Radici n-esime di un numero complesso) Sia z = (ρ, θ)
∈
un numero complesso espresso in coordinate polari e sia n allora l’e-
N,
n −
quazione polinomiale x z = 0 ha esattamente n soluzioni distinte le cui
espressioni in coordinate polari sono
√ θ + 2kπ −
z = ( ρ, ) k = 0, 1, ..., n 1
n
k n 23
3.Il problema della ciclotomia
Dalle proprietà appena enunciate, si deduce che, nella circonferenza uni-
n −
taria le potenze n-esime di z = (1, 0) (soluzioni di x 1 = 0), sono date
da 2kπ −
z = (1, ) k = 0, 1, ..., n 1
k n
che geometricamente rappresentano i vertici di un poligono con n lati in-
scritto nella circonferenza unitaria, avente un vertice in (1, 0).
Siano ρ e θ coordinate polari del numero complesso z. Esso può essere
θi
rappresentato come z = ρ cos θ + iρ sin θ = (ρ, θ), che equivale a ρe . Per
rappresentare il k-esimo vertice di un poligono di n lati, verrà utilizzata la
seguente notazione: 2kπi 2kπi 2kπ
2kπi
k
δ := e = cos( ) + i sin( ) = (1, )
n
n n n n
che si avvale della formula di Eulero.
Osservazione 3.1.1. Il problema di costruire un poligono regolare di n lati
n −
è equivalente al problema di costruire le soluzioni di x 1 = 0. Infatti,
n −
come conseguenza della proprietà 3.1.2, l’equazione polinomiale x 1 = 0
ha esattamente n soluzioni distinte le cui espressioni in coordinate polari
sono: 0 1 2 n−1
δ δ δ . . . δ
n n n n j k
6 6
Questa affermazione si dimostra considerando che δ = δ , per j = k < n,
n n
e che usando la formula delle potenze n-esime di un numero complesso si
ottiene 2kπi
k n n ) = (1, 0) = 1
(δ ) = (1 , n
n n
3.2 Radici n-esime dell’unità ed estensioni cicloto-
miche 1
In questo paragrafo si vuole stabilire per quali n il numero complesso δ è
n
1
euclideo. Se il secondo vertice δ di un poligono di n lati è euclideo, allora
n
il lato del poligono è costruibile e quindi la costruzione di tale poligono è
1 1
∈
immediata. Dal corollario 2.3.1 si ha che se δ è euclideo, allora δ
C
n n
k
è algebrico di grado 2 per un opportuno naturale k. E’ quindi necessario
1
studiare il grado dell’estensione in cui si trova δ .
n
n −
Definizione 3.2.1. Le radici del polinomio x 1 sono dette radici n-
k ≤ ≤ −
esime dell’unità e si indicano con δ per 1 k n 1. Si definisce
n k
ordine o periodo, di una radice n-esima dell’unità δ il più piccolo intero
n
k m k
positivo m tale che (δ ) = 1. Inoltre una radice n-esima dell’unità δ si
n n
k n
dice primitiva, se il suo ordine è n, cioè (δ ) = 1.
n
24
3.Il problema della ciclotomia
Osservazione 3.2.1. Ci sono esattamente φ(n) radici n-esime primitive
k m
dell’unità, dove φ è la funzione di Eulero. Infatti (δ ) = 1 se e solo se
n
(m, k) = 1. Se ci fossero divisori comuni fra m e k, allora m non sarebbe
k
più il più piccolo intero positivo a cui elevare δ per ottenere 1. Si osserva
n
1
inoltre che δ è sempre radice n-esima dell’unità.
n n −
Definizione 3.2.2. Il campo di spezzamento del polinomio x 1 su è
Q
k k
detto estensione ciclotomica. Si indica con ) per δ radice primitiva
Q(δ
n n
n-esima dell’unità.
Osservazione 3.2.2. Dato che ci sono esattamente φ(n) radici n-esime
primitive dell’unità, l’estensione ciclotomica ha grado φ(n). Cioè
k
[Q(δ ) : = φ(n)
Q]
n
Il prossimo teorema comincia a far intravedere per quali fattorizzazioni
di n i poligoni regolari di n lati sono costruibili; sarà poi nell’ultimo teorema
del paragrafo, la cui condizione necessaria fu dimostrata da Gauss nel 1801
1
e la condizione sufficiente da Pierre Laurent Wantzel nel 1836 , che si avrà
un criterio effettivo per rispondere al problema della ciclotomia.
2
Teorema 3.2.1. Un poligono regolare di n lati è costruibile se e solo se
h
esiste un intero positivo h tale che φ(n) = 2 1 è costruibile;
Dimostrazione. Il poligono di n lati e costruibile se e solo se δ
n
∈
per 2.2.1, esiste h tale che
N 1 h
[Q(δ ) : = 2
Q]
n
E per 3.2.2 segue che 1
[Q(δ ) : = φ(n)
Q]
n
h
Cioè φ(n) = 2 . h
Viceversa, se vale φ(n) = 2 , allora dall’osservazione 3.2.2 segue che
1 h
[Q(δ ) : = φ(n) = 2
Q]
n
1
Quindi δ è un punto euclideo. Pertanto è euclideo anche il lato del poligono
n
di n lati. 3 h h h−1
−
Lemma 3.2.1. Se p è un numero primo allora φ(p ) = p p
1 Da [5] pag. 879
2 Da [9], corollario 7.5.2 pag. 375 .
3 Da [9], proposizione 2.8.3 pag. 85 . 25
3.Il problema della ciclotomia
h
Dimostrazione. Non sono coprimi con p solo i multipli di p, quindi solo gli
· ≤ ≤ −
elementi i p, per 1 i h 1. La cardinalità degli elementi non coprimi
h h h h−1
− −
con p è quindi h 1, cioè φ(p ) = p p .
4
Lemma 3.2.2. Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché un
h
numero della forma 2 + 1 sia primo è che l’esponente deve avere la forma
k
h = 2 per qualche k intero positivo.
Dimostrazione. Se per assurdo h contiene un fattore dispari, cioè h = r(2s+
1) per r ed s interi positivi, allora
h r(2s+1)
2 + 1 = 2 + 1
r r 2s r 2s−1 r 2s−2 r 2 r
− − · · · −
= (2 + 1)((2 ) (2 ) + (2 ) + (2 ) 2 + 1)
si separa nel prodotto di due fattori. Non vale la condizione sufficiente
(Eulero 1732), infatti
5
2 ·
2 + 1 = 4294967297 = 641 6700417
5
Teorema 3.2.2. Un poligono di n lati è costruibile se e solo se i primi
dispari che compaiono nella fattorizzazione hanno tutti esponente 1 e sono
n
2
primi del tipo 2 + 1. Cioè la fattorizzazione di n è del tipo
k
n = 2 p p . . . p
1 2 s
n
2
con p p . . . p numeri distinti del tipo 2 + 1.
1 2 s
Dimostrazione. Da 3.2.1 si ha che un poligono regolare di n-lati è costruibile
1 2 r
h t t t i
⇔ ∃h ∈ | φ(n) = 2 . Sia n = p p . . . p per p primo, e t intero positivo,
N i
r
1 2
allora da 3.2.1 1 2 r
t t t
φ(n) = φ(p )φ(p ) . . . φ(p )
1 2 r
1 2
1 2 r r
−1 −1 −1
t t
t t t t
− − −
= (p p )(p p ) . . . (p p )
1 2 r r
1 2
h
Ora per poter affermare che φ(n) = 2 , si deve stabilire quando il generico
k k−1
−
fattore (p p ) è una potenza di 2. Si osserva che ciò accade solo in due
6
casi: per p = 2 e per ogni k intero positivo oppure, se p = 2, per k = 1 e
t
−
p 1 = 2 . Ovvero
k k−1 k k−1 k−1 k−1
− − −
1. (p p ) = (2 2 ) = 2 (2 1) = 2
k k−1 1 t
− −
2. (p p ) = (p 1) = 2
4 Da [9], proposizione 2.9.7 pag. 93 .
5 Da [9], proposizione 7.5.3 pag. 375. 26
3.Il problema della ciclotomia
k k−1 k−1
−
Se tutti i fattori (p p ) sono del tipo 1, allora φ(n) = 2 . Se tutti
k k−1 t
−p
i fattori (p ) sono del tipo 2, allora tali fattori sono del tipo p−1 = 2 ,
t
cioè p = 2 + 1 per p che deve essere primo. Per 3.2.2 p è primo se e solo se
m
2
è del tipo 2 + 1. Nel caso generico, in cui i fattori di n possono essere sia
del tipo 1 che del tipo 2, si ha che k
n = 2 p p . . . p
1 2 s
n
2
con p p . . . p numeri distinti del tipo 2 + 1.
1 2 s
Dal teorema precedente si ottiene la seguente tabella:
Numero di lati Fattorizzazione Costruibilità
3 2+1 sı̀
2
4 2 sı̀
2
5 2 +1 sı̀
·
6 2 3 sı̀
7 no
3
8 2 sı̀
·
9 3 3 no
·
10 2 5 sı̀
11 no
2 ·
12 2 3 sı̀
13 no
·
14 2 7 no
·
15 3 5 sı̀
4
16 2 sı̀
4
17 2 + 1 sı̀
2
·
18 2 3 no
19 no
2 ·
20 2 5 sı̀
&mi
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