Studio del grafico di una funzione

Gianni Sammito
di Gianni Sammito
15 min
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1. Dominio Il dominio di una funzione è il più grande sottoinsieme di mathbb{R} nel quale l'espressione analitica della fuzione non perde di significato. f(x)=1/g(x) dominio g(x) e0...
x2.png

Dominio[/2h]

Il dominio di una funzione è il più grande sottoinsieme di

[math]\mathbb{R}[/math]

nel quale l'espressione analitica della fuzione non perde di significato.

[math]f(x)=1/g(x)[/math]

dominio

[math]g(x) \ne 0[/math]

[math]f(x) = \sqrt[n]{g(x)}[/math]

n pari, dominio

[math]g(x)>=0[/math]

[math]f(x)=\log(g(x))[/math]

dominio

[math]g(x)>0[/math]

[math]f(x)=\tan(g(x))[/math]

dominio

[math]g(x) \neq \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, \quad k \in \mathbb{Z}[/math]

[math]f(x) = \cot(g(x))[/math]

dominio

[math]g(x) \neq k \cdot \pi, \quad k \in \mathbb{Z}[/math]

[math]f(x)=a\sin(g(x))[/math]

dominio

[math]-1>=g(x)>=1[/math]

[math]f(x)=a\cos(g(x))[/math]

dominio

[math]-1>=g(x)>=1[/math]

Esempi

il dominio massimale della funzione

[math]f(x) = \sqrt{x - 1}[/math]

è

[math]\text{dom}(f) = {x \in \mathbb{R}: x \ge 1}[/math]

,

[math]g(x) = \frac{1}{x}[/math]

è

[math]\text{dom}(g) = {x \in \mathbb{R}: x \ne 0}[/math]

.

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Simmetrie

Una funzione

[math]f[/math]

, definita su un dominio simmetrico rispetto all'origine, si dice pari se e solo se risulta

[math]f(-x) = f(x)[/math]

per ogni

[math]x \in \text{dom}(f)[/math]

. Una funzione

[math]f[/math]

, definita su un dominio simmetrico rispetto all'origine, si dice dispari se e solo se risulta

[math]f(-x) = -f(x)[/math]

per ogni

[math]x \in \text{dom}(f)[/math]

.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse

[math]y[/math]

, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine. Questo vuol dire che per tracciare il grafico di una funzione a simmetria pari, o dispari, è sufficiente studiarlo per le

[math]x[/math]

positive del dominio, estendendolo poi per simmetria alle

[math]x[/math]

negative del dominio.

Ovviamente non è detto che ogni funzione sia pari o dispari, ci sono funzioni che non sono né pari né dispari. Ad esempio una funzione con un dominio non simmetrico rispetto all'origine non può essere né pari né dispari.

Proprietà

- il prodotto, o il rapporto, di due funzioni pari è una funzione pari
- il prodotto, o il rapporto, di due funzioni dispari è una funzione pari
- il prodotto, o il rapporto, di una funzione pari con una funzione dispari è una funzione dispari
- la somma di due funzioni pari è una funzione pari
- la somma di due funzioni dispari è una funzione dispari
- la somma di una funzione pari con una dispari è una funzione, in generale, né pari né dispari

Esempio


[math]f(x)=x^2[/math]

è una funzione pari,

[math]f(-x)=f(x)[/math]

x3.png

[math]f(x)=x^3[/math]

è una funzione dispari,

[math]f(-x)=-f(x)[/math]

e-x2.png

[math]f(x) = e^{-x^2}[/math]

è pari

xlnx2.png

[math]f(x) = x \cdot ln(x^2)[/math]

è dispari,

ex.png

[math]f(x) = e^x[/math]

non è né pari né dispari.

Periodicità

Una funzione è periodica di periodo T se

[math]f(x+T)=f(x)[/math]

. Sono periodiche le funzioni goniometriche e alcune funzioni composte da funzioni goniometriche.

Esempio

sinxcos2x.png

[math]f(x)=\sin(x) \cdot \cos(2x)[/math]

è periodica di periodo

[math]2 \cdot \pi[/math]

Intersezione con gli assi

Data una funzione

[math]f[/math]

, se

[math]0[/math]

appartiene al dominio allora il grafico di

[math]f[/math]

interseca l'asse

[math]y[/math]

nel punto

[math](0, f(0))[/math]

. Le intersezioni con l'asse

[math]y[/math]

possono essere al massimo una.

Per determinare le (eventuali) intersezioni con l'asse

[math]x[/math]

è sufficiente risovlere l'equazione

[math]f(x) = 0[/math]

. Se

[math]x_1, x_2, \ldots, x_n[/math]

sono le soluzioni dell'equazione, allora i punti di intersezione fra l'asse

[math]x[/math]

e il grafico di

[math]f[/math]

sono

[math](x_1, 0) \qquad (x_2, 0) \qquad \ldots \qquad (x_n, 0)[/math]

Esempio

la funzione

[math]f(x) = \sin (x)[/math]

interseca l'asse

[math]y[/math]

in

[math](0, \sin (0))[/math]

, cioè

[math](0,0)[/math]

, e interseca l'asse

[math]x[/math]

nei punti

[math](k \pi, 0)[/math]

, con

[math]k \in \mathbb{Z}[/math]

. Infatti le soluzioni di

[math]\sin (x)[/math]

sono date da

[math]x = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}[/math]

. sinx.png

Studio del segno

Studiare il segno di una funzione

[math]f[/math]

significa risolvere la disequazione

[math]f(x) ge 0[/math]

. In questo modo negli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta la funzione è positiva, ossia il grafico si trova nel semipiano

[math]y \ge 0[/math]

, mentre negli intervalli (contenuti nel dominio) in cui la disequazione non è soddisfatta la funzione è negativa, ed il grafico si trova nel semipiano

[math]y > 0[/math]

.

Esempio

La funzione

[math]f(x) = \frac{x-1}{x-2}[/math]

è positiva (o meglio, non negativa) per

[math]x \le 1 \quad \vee \quad x > 2[/math]

, mentre è negativa per

[math]1 > x > 2[/math]

. x-1dx-2positiva.png

Asintoti verticali

Quando una funzione ammette limite

[math]+\infty[/math]

o

[math]-\infty[/math]

in un punto

[math]x_0[/math]

, si dice che essa ha come asintoto verticale la retta

[math]x = x_0[/math]

.

Più precisamente, data una funzione

[math]f(x)[/math]

,

se

[math]\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty[/math]

(o

[math]-\infty)[/math]

, allora la retta

[math]x = x_0[/math]

è un asintoto verticale sinistro;

se

[math]\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty[/math]

(o

[math]-\infty)[/math]

, allora la retta

[math]x = x_0[/math]

è un asintoto verticale destro;

se

[math]\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty[/math]

(o

[math]-\infty)[/math]

, allora la retta

[math]x = x_0[/math]

è un asintoto verticale (sia destro che sinistro).

In sostanza si determina l'esistenza di asintoti verticali calcolando i limiti (della funzione) per i punti appartenenti alla frontiera del dominio.

Notare che il grafico di una funzione non può intersecare in nessun punto gli asintoti verticali.

Esempio

Data la funzione

[math]f(x) = \ln(x)[/math]

, la retta

[math]x = 0[/math]

è un asintoto verticale destro, infatti

[math]\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty[/math]

.

logx-asintoto.png

Data la funzione

[math]g(x) = \frac{1}{(x-1)^2)}[/math]

, la retta

[math]x=1[/math]

è un asintoto verticale (destro e sinistro), infatti

[math]\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty[/math]

. 1sux-1.png

Asintoti orizzontali

Per determinare l'esistenza di eventuali asintoti orizzontali di una funzione

[math]f(x)[/math]

è necessario calcolare i limiti per

[math]x \to +\infty[/math]

o

[math]x \to -\infty[/math]

(ovviamente se il dominio è superiormente o inferiormente illimitato, rispettivamente, altrimenti tali limiti non esisterebbero).

Se

[math]\lim_{x \to +\infty} f(x)[/math]

esiste finito, e il risultato è

[math]k_1[/math]

, allora la retta

[math]y = k_1[/math]

è un asintoto orizzontale destro per il grafico di

[math]f[/math]

.

Analogamente se

[math]\lim_{x \to -\infty} f(x)[/math]

esiste finito, e il risultato è

[math]k_2[/math]

, allora la retta

[math]y = k_2[/math]

è un asintoto orizzontale sinistro per il grafico di

[math]f[/math]

.

Dopo aver trovato eventuali asintoti orizzontali, è utile calcolare le (eventuali) intersezioni del grafico della funzione con tali asintoti.

Se

[math]\lim_{x \to \pm \infty} f(x)[/math]

non esistono, o sono infiniti, allora la funzione non ammette asintoti orizzontali.

Esempio

La retta

[math]y = 0[/math]

è un asintoto orizzontale sinistro per la funzione

[math]f(x) = e^x[/math]

, infatti

[math]\lim_{x \to -\infty} e^x = 0[/math]

. ex-asintoto-oriz.png

Asintoti obliqui

Data una funzione

[math]f(x)[/math]

, se il limite per

[math]x \to +\infty[/math]

(rispettivamente

[math]x \to -\infty[/math]

) esiste ma non è finito, ci si può chiedere se per

[math]x \to +\infty[/math]

(rispettivamente

[math]x \to -\infty[/math]

) la funzione ammetta un asintoto obliquo.

Se

[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m[/math]

esiste finito e non nullo, e se

[math]\lim_{x \to +\infty} f(x) - mx = q[/math]

esiste finito, allora la funzione

[math]f[/math]

ammette per

[math]x \to +\infty[/math]

un asintoto obliquo di equazione

[math]y = mx + q[/math]

.

Per

[math]x \to -\infty[/math]

la situazione è analoga.

Anche in questo caso, dopo aver determinato gli eventuali asintoti obliqui, può essere utile cercare (eventuali) intersezioni fra il grafico di

[math]f[/math]

e tali asintoti.

Esempio

La funzione

[math]f(x) = \frac{x^2-1}{x}[/math]

ammette come asintoto obliquo la retta

[math]y = x[/math]

, infatti

[math]\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1[/math]

, e

[math]\lim_{x \to \pm \infty} f(x) - x = 0[/math]

. x2-1dx.png

Derivata prima

Una volta calcolata la derivata prima

[math]f'(x)[/math]

, è utile classificare i punti di non derivabilità in cui la funzione è continua (punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi).

Punto angoloso

se

[math]\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]

e

[math]\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]

esistono finiti ma diversi, allora

[math](x_0, f(x_0))[/math]

è un punto angoloso.

Flesso a tangente verticale

se

[math]\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]

e

[math]\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]

esistono, sono infiniti, e sono uguali, allora

[math](x_0, f(x_0))[/math]

è un punto di flesso a tangente verticale e

[math]x = x_0[/math]

è una retta tangente al grafico di

[math]f[/math]

che attraversa il grafico stesso.

Cuspide

se

[math]\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]

e

[math]\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]

esistono, entrambi infiniti, ma diversi, allora

[math](x_0, f(x_0))[/math]

è un punto di cuspide.

Fatto questo si risolve l'equazione

[math]f'(x) = 0[/math]

, trovando così i punti critici, e si studia il segno di

[math]f'[/math]

. Un punto critico

[math]x_0[/math]

, in base al segno di

[math]f'[/math]

, si può classificare nel seguente modo
- se la derivata prima è negativa in un intorno sinistro di

[math]x_0[/math]

e positiva in un intorno destro di

[math]x_0[/math]

, allora

[math](x_0, f(x_0))[/math]

è un punto di minimo relativo
- se la derivata prima è positiva in un intorno sinistro di

[math]x_0[/math]

e negativa in un intorno destro di

[math]x_0[/math]

, allora

[math](x_0, f(x_0))[/math]

è un punto di massimo relativo
- se la derivata prima assume lo stesso segno in un intorno completo di

[math]x_0[/math]

, allora

[math](x_0, f(x_0))[/math]

è un punto di flesso a tangente orizzontale

Derivata seconda

Se la funzione considerata è sufficientemente regolare, è possibile calcolarne la derivata seconda, avendo così informazioni su flessi, concavità e convessità. Risolvendo l'equazione

[math]f''(x) = 0[/math]

si trovano i punti di flesso a tangente obliqua.

Fatto questo può essere utile studiare il segno della derivata seconda; negli intervalli in cui risulta

[math]f''(x) > 0[/math]

la funzione è convessa, invece negli intervalli in cui risulta

[math]f''(x) > 0[/math]

la funzione è concava.

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