Matematica (PNI) - Soluzione Problema 2

Daniele Grassucci
di Daniele Grassucci
3 min
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Soluzione del problema n.2 di matematica del liceo scientifico, PNI, assegnata alla maturità 2012
grafico seconda prova

1)

[math]A=\int_{\frac{1}{2}}^1\left(e^x-lnx\right)dx=\left[e^x-x\left(lnx-1\right)\right]_{\frac{1}{2}}^1=[/math]
[math]\left[e+1-e^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}ln\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right]=[/math]
[math]e-e^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2[/math]

2)Se

[math]y=f(x),\ x=F(y)[/math]

sono una funzione inversa dell'altra, in modo che

[math](x_0,y_0)[/math]

è il punto
per cui

[math]y_0=f(x_0),\ x_0=F(y_0)[/math]

, allora i volumi dei solidi di rotazione, rispettivamente rispetto all'asse
x e all'asse y si trovano usando gli integrali

[math]V_x=\pi\int_0^{x_0} [f(x)]^2\ dx,\qquad V_y=\pi\int_0^{y_0}[F(y)]^2\ dy.[/math]

Pertanto abbiamo

[math]V_x=\pi\int_0^{1/3}\left\{[g(x)]^2-[f(x)]^2\right\}\ dx,[/math]
[math]V_y=\pi\int_0^1\left\{[F(y)]^2-[G(y)]^2\right\}\ dy,[/math]

dove

[math]F,G[/math]

sono, rispettivamente, le funzioni inverse di

[math]f,g[/math]

.

3) r tangente a

[math]f\left(x\right):\; y=e^{x_0}\left(x-x_0\right)+e^{x_0}[/math]

s tangente a

[math]g\left(x\right):\;y=\frac{1}{x_0}\left(x-x_0\right)+lnx_0[/math]

se

[math]e^{x_0}=\frac{1}{x_0}[/math]

allora

[math]s//r[/math]
[math]h\left(x\right)=e^x-\frac{1}{x}[/math]
[math]D\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,+\infty\right)[/math]

sempre crescente.
Per il teorema di esistenza degli zeri

[math]\exists ![/math]

la soluzione di

[math]h\left(x\right)=0[/math]

Applicando la formula di Newton:

[math]x_{n+1}=x_n-\frac{h\left(x_n\right)}{h'\left(x_n\right)}=x_n-\frac{e^{x_n}-\frac{1}{x_n}}{e^{x_n}+\frac{1}{x^2_n}}=[/math]

[math]\frac{e^{x_n}\left(x_n-1\right)+\frac{2}{x_n}}{e^{x_n}+\frac{1}{x^2_n}}[/math]

PUNTO INIZIALE

[math]x_0=1[/math]

per

[math]x_n=1[/math]

otterremo

[math]x_{n+1}=0.538\; \Delta x=\left[x-x_{n+1}\right]0.562[/math]

posto dunque

[math]x_n=0.538[/math]

, avremo

[math]x_{n+1}=0.566[/math]

e dunque

[math]\Delta x=\left[x_n-x_{n+1}\right]=0.028[/math]

L'approssimazione richiesta e' arrotondata ai centesimi, essendo

[math]\Delta x=\frac{1}{100}[/math]

si dovrà continuare,
ottenendo come soluzione

[math]x_n=0.566\; x_{n+1}=0.567\; \Delta x>\frac{1}{100}[/math]

pertanto la soluzione sara'

[math]x\simeq0.566[/math]

4) La derivata prima di h(x) e'

[math] h'(x) = e^x - \frac{1}{x} [/math]

Essa e' negativa per tutti i valori in cui

[math] e^x - \frac{1}{x} > 0 \to e^x > \frac{1}{x} [/math]

il valore, soluzione dell'equazione, e' un valore x0 compreso tra 1/2 e 1, in quanto la derivata per x=1/2 e' negativa mentre per x=1 e' positiva. pertanto nell'intervallo, x0 sara' il punto di minimo assoluto, mentre ai due estremi si trovera' uno dei due punti di massimo assoluto

Sostituendo ad h(x) i valori x=1/2 e x=1, si nota che il valore di h(x) e' maggiore per x=1 che pertanto sara' il punto di massimo assoluto

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