2016 Tema di matematica indirizzo scientifico internazionale tedesco/francese

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

La funzione ( f: mathfrak{R}
ightarrow mathfrak{R} ) è così definita: [ f(x) = egin{cases} frac{sin(x)}{x} && mbox{per } x
e 0 \ 1 && mbox{per } x = 0 end{cases} ]

1. Prova che
   [math]f[/math]
   è una funzione pari e che essa è derivabile in
   [math]x = 0[/math]
   . Dimostra inoltre che la funzione
   [math]f[/math]
   ha un massimo assoluto in
   [math]x = 0[/math]
   .
2. Traccia, in uno stesso diagramma, i grafici indicativi delle tre funzioni [ y=f(x) ,,,,,, y=frac{1}{x},,,,\,, y = -frac{1}{x} ] e mostra che il grafico di
   [math]f[/math]
   è tangente agli altri due in infiniti punti. È vero che tali punti di tangenza sono anche massimi o minimi relativi della funzione f ?
3. Data (mathfrak{R}_0) la regione piana di area finita delimitata dal grafico di
   [math]f[/math]
   , dall’asse
   [math]x[/math]
   e dall’asse
   [math]y[/math]
   , si indica con
   [math]V_0[/math]
   il volume del solido generato ruotando (mathfrak{R}_0 ) intorno all’asse
   [math]y[/math]
   . Si indica inoltre con (mathfrak{R}_n) la regione piana delimitata dal grafico di
   [math]f[/math]
   e dal tratto dell’asse
   [math]x[/math]
   compreso tra ( npi ) e ((n+1)pi), qualsiasi sia (n in mathbb{N}), e con
   [math]V_n[/math]
   il volume del rispettivo solido di rotazione. Dimostra che risulta: [ V_0 = V_n = 4pi ]
4. Sia definita la funzione: [ F(x) = int_0^x f(t), dt ]
   Tenuto conto del fatto che [ lim_{x
   ightarrow infty} F(x) = frac{pi}{2} ] traccia un grafico indicativo dell'andamento della funzione
   [math]F[/math]
   , individuandone, in particolare, le ascisse
   dei punti di massimo e di minimo. N.B. La primitiva della funzione
   [math]f[/math]
   non è esprimibile tramite le usuali funzioni analitiche.

PROBLEMA 2

Nella figura 1 è rappresentato il grafico (Gamma) della funzione continua ( f: [0, +∞)
ightarrow mathbb{R} ), derivabile in (]0, +∞)), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.

[caption id="attachment_16449" align="alignleft" width="615"] Figura 1

È noto che (Gamma) è tangente all’asse

in , che ed sono un punto di massimo e uno di minimo, che è un punto di flesso con tangente di equazione .

Nel punto

la retta tangente ha equazione e per ( x ge 8) il grafico consiste in una semiretta passante per il punto . Si sa inoltre che l’area della regione delimitata dall’arco , dall’asse e dall’asse vale 11, mentre l’area della regione delimitata dall’arco e dall’asse vale 1.

1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni [ y = f'(x) ] [ F(x) = int_0^x f(t), dt ]
   Quali sono i valori di
   [math]f'(3)[/math]
   ) e
   [math]f'(5)[/math]
   ? Motiva la tua risposta.
2. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: [ y = |f'(x)| ] [ y = |f(x)|' ] [ y = frac{1}{f(x)} ] specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.
3. Determina i valori medi di
   [math] y = f(x)[/math]
   e di
   [math]y = |f(x )|[/math]
   nell’intervallo ([0,8]), il valore medio di
   [math]y= f'(x)[/math]
   nell’intervallo ([1,7]) e il valore medio di
   [math]y = F(x)[/math]
   nell’intervallo ([9,10]).
4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione
   [math]F(x)[/math]
   nei suoi punti di ascisse 0 e 8, motivando le risposte.

QUESTIONARIO

1. E’ noto che [ int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2}, dx = sqrt{pi} ] Stabilire se il numero reale
   [math]u[/math]
   , tale che [ int_{-infty}^{u} e^{-x^2}, dx = 1]
   è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte: [A = int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}, dx ,,,, B=int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}, dx ,,,, C =int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}, dx ]
2. Data una parabola di equazione [ y = 1 -ax^2, mbox{con } a gt 0] si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse
   [math]x[/math]
   , nel segmento parabolico delimitato dall’asse x. Determinare
   [math]a[/math]
   in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.
3. Un recipiente sferico con raggio interno
   [math]r[/math]
   è riempito con un liquido fino all’altezza
   [math]h[/math]
   . Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: ( V = pi cdot Big( rh^2 - frac{h^3}{3} Big) )
4. Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?
5. Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: “Esiste un polinomio
   [math]P(x)[/math]
   tale che ( |P(x)-cos(x)| le 10^{-3}, forall x in mathit{R} )”
6. Calcolare il valore del limite: [ lim_{x
   ightarrow 6} frac{6-sqrt{5x+6}}{x^2-8x+12} ] senza adoperare la regola de l’Hôpital.
7. Data una funzione
   [math]f(x)[/math]
   definita in R, ( f(x) = e^x (2x+x^2) ), individuare la primitiva di
   [math]f(x)[/math]
   il cui grafico passa per  ((1 , 2e)) .
8. Sia
   [math]f[/math]
   la funzione così definita nell’intervallo ( ]1,+infty[): [ f(x) = int_{e}^{x^2} frac{t}{ln t}, dt ]
   Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa ( sqrt{e}).

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