Quel 1,6180339887... è la sezione aurea, il rapporto matematico che per secoli abbiamo associato all'idea di armonia e bellezza. Si indica con la lettera greca φ (phi) e ha collezionato parecchi nomi: rapporto aureo, numero aureo, costante di Fidia, proporzione divina.
Lo hanno studiato Euclide e Fibonacci, lo ha portato fuori dalla cerchia degli specialisti il matematico Luca Pacioli con un libro illustrato da Leonardo da Vinci. Oggi lo ritrovi tra quadri, loghi, fotografie e perfino negli studi dentistici.
Indice
Il numero aureo nasce da una proporzione
La definizione sembra un esercizio di geometria. Prendi un segmento e dividilo in due parti disuguali in modo che l'intero stia alla parte maggiore come la maggiore sta alla minore.
Messa in algebra, quella proporzione diventa l'equazione φ² − φ − 1 = 0. Delle due soluzioni conta solo quella positiva, (1 + √5)/2, perché una lunghezza non può essere negativa.
Ecco il primo "segreto". Per colpa di quella radice di 5, φ è un numero irrazionale, cioè non si può scrivere come frazione di due numeri interi. Allo stesso tempo è algebrico, perché risolve un'equazione a coefficienti interi.
Poi entra in scena Fibonacci. Nel 1202, nel Liber abaci, il matematico introdusse la successione 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., in cui ogni numero è la somma dei due precedenti.
Dividi un termine per quello che lo precede e ti avvicini sempre di più a φ: 55/34 fa 1,6176, 89/55 fa 1,6181, 987/610 arriva a 1,618033. Il legame tra la successione e il numero aureo fu descritto anche dall'astronomo Keplero, in una lettera del 1609.
Il rettangolo aureo e la sensazione di armonia
Il modo più immediato per vedere φ è un rettangolo. Nel rettangolo aureo il lato lungo e quello corto stanno proprio nel rapporto 1,618, e per disegnarlo bastano riga e compasso.
Si parte da un quadrato, si trova il punto medio della base e lo si collega con un segmento al vertice opposto. Riportato col compasso dal punto medio sul prolungamento della base, quel segmento individua l'estremità del lato lungo del rettangolo.
La proprietà più ipnotica arriva dopo. Se da un rettangolo aureo togli il quadrato costruito sul lato corto, quello che resta è di nuovo un rettangolo aureo, e puoi ripetere l'operazione all'infinito.
Tracciando archi di cerchio dentro questa sequenza di quadrati e rettangoli sempre più piccoli si ottiene un'approssimazione della spirale aurea.
Ma ci sembra davvero più bello? Nel 1875 lo psicologo tedesco Fechner mostrò a diverse persone una serie di rettangoli, chiedendo quale trasmettesse più armonia. Il risultato sembrò confermare ciò che pittori, architetti e matematici sostenevano da tempo: vinceva il rettangolo aureo.
Il verdetto, però, è meno netto di così. Esperimenti di questo tipo, rifatti in tempi recenti, hanno dato esiti molto più ambigui e incerti.
Come arte e design usano il rettangolo aureo
Per chi crea immagini, il rettangolo aureo è soprattutto uno schema di lavoro. Pittori, grafici e fotografi lo usano per costruire composizioni più gradevoli all'occhio, anche se il motivo per cui funzionerebbe resta poco chiaro.
Il nome che torna sempre è quello di Leonardo da Vinci. Gli si attribuisce spesso l’uso della proporzione in tre capolavori, La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo vitruviano, anche se non ci sono prove che l’abbia applicata in modo consapevole.
Oggi il rapporto trova applicazione anche nel graphic design.
In fotografia la proporzione serve a ritagliare l'immagine bilanciando soggetto e sfondo. Nel web design c'è chi divide colonna dei contenuti e barra laterale nel rapporto 1,618 a 1.
Il corpo umano come misura della bellezza
Il disegno che ha trasformato il corpo umano in un manifesto delle proporzioni è L'Uomo vitruviano, realizzato da Leonardo verso il 1490. Un uomo a braccia e gambe aperte, inscritto insieme in un cerchio, simbolo del cielo, e in un quadrato, simbolo della Terra.
Lo conservano le Gallerie dell'Accademia di Venezia, anche se per motivi di conservazione è esposto raramente. Lo hai però in tasca: è sulle monete italiane da 1 euro.
Sopra e sotto la figura, Leonardo annotò le misure ispirate all'architetto romano Vitruvio: l'apertura delle braccia uguale all'altezza, la mano pari a un decimo dell'uomo, il piede a un settimo. Sul piede contraddiceva Vitruvio, che lo voleva un sesto, sulla base delle misurazioni fatte su modelli a Milano.
Il colpo di scena è che Leonardo non applicò deliberatamente la sezione aurea nel disegno. Il rapporto salta fuori analizzando la figura a posteriori, per esempio nel punto in cui l'ombelico divide l'altezza o nel rapporto tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio.
La caccia al numero aureo è arrivata fino al sorriso. Nell'estetica dentale c'è chi sostiene che labbro superiore e inferiore debbano stare nel rapporto 1 a 1,618, e che la stessa proporzione regoli le dimensioni di incisivi e canini.
Da misura geometrica a ideale divino
La storia ufficiale parte dalla Grecia. La definizione risale al VI secolo a.C. e alla scuola pitagorica nell'Italia meridionale, legata allo studio del pentagono regolare, dove il rapporto tra diagonale e lato è proprio φ.
I pitagorici studiavano anche le leggi numeriche dell'armonia musicale, e da lì ricavarono principi per l'architettura sacra. Gli architetti greci avrebbero usato rettangoli aurei per piante e facciate dei templi: l'esempio più citato è il Partenone, anche se sull'uso consapevole resta il dubbio.
La più antica testimonianza scritta è di Euclide, intorno al 300 a.C.: negli Elementi parla di dividere un segmento "in media e ultima ragione". Prima dei Greci il quadro si fa ancora più incerto.
Per Babilonesi ed Egizi mancano prove definitive. Nella piramide di Cheope il rapporto tra altezza della faccia e metà del lato vale circa 1,62, ma può essere un caso o un effetto delle tecniche di costruzione.
La svolta arriva nel Rinascimento. Nel 1509, a Venezia, Luca Pacioli pubblica il De Divina Proportione e ribattezza il rapporto "proporzione divina": come Dio, scrive, non si lascia esprimere con un numero, ma "sempre fia occulta e secreta".
Il nome "sezione aurea" ha una prima traccia scritta che sembra risalire al 1835. Nell'Ottocento il rettangolo aureo diventa un canone estetico considerato "naturale", e molti artisti dichiarano apertamente di usarlo: da lì nasce il numero che associamo a ciò che troviamo bello.
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