Costante G e l'accelerazione di gravità g

2. La misura di G secondo Newton

• Newton partì dal presupposto che la forza peso di un corpo di massa m è la forza di gravità con cui la Terra attrae tale massa quando è posta vicino alla superficie terrestre.

F_P = G ^mM_t/_Rt²

G = ^F_PR_t2/_mMt

• Egli ipotizzò che la densità media della Terra fosse pari a 5/6 volte quella dell'acqua. Assumendo una lunghezza del raggio terrestre di circa 6000 km, l'intervallo di valori a cui Newton sarebbe giunto è:

G = 7,8 ÷ 5,6 × 10^-11 N · m²/kg²

2. La misura di G secondo Cavendish (1798)

• Egli usò una bilancia a torsione per misurare la forza gravitazionale che si esercita tra due sfere vicine tra loro.
• La forza gravitazionale introduce nel sistema un momento di forze diverso da zero che pone il braccio della bilancia in rotazione.
• Dalla misura dell'angolo di torsione si ricava il valore della costante gravitazionale.

F = G _mM/_d²

G = _r²F/_m1m2

Il valore di G rappresenta la forza con la quale si attraggono due corpi di massa 1 kg posti a distanza di 1 m l'uno dal

G = 6,67 · 10^-11 N · m²/kg²

2. L’accelerazione di gravità sulla superficie terrestre

F_p = m (GM_t/R_t²)

• La quantità che compare tra parentesi nella formula:

1. È una costante
2. Non dipende dalla massa m
3. Ha un valore numerico pari a:

GM_t/R_t² = 9,80 m/s²

• L’accelerazione di gravità è g = F/m = G M/R² da cui

M = gR²/G

• Sostituendo il valore dell’accelerazione di gravità e del raggio terrestre si

M = 9,8 * (6,38 * 10⁶)² / 6,67 * 10¹¹ = 5,98 * 10²⁴ kg

• Dividendo la massa M per il volume della Terra, si ricava la densità media della Terra:

d = 5,5 g/cm³