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Impedenza


Se un generatore di tensione continua (ad esempio una pila), il cui simbolo è quello della Figura 1 presente in allegato, viene applicato ad un circuito elettrico, esso ne genera una corrente (I).
Il valore di questa corrente è funzione della tensione, o meglio della differenza di potenziale generata dalla pila (V), e della resistenza (R) che incontra la corrente al suo passaggio nel circuito (FIGURA 2 presente in allegato).

In altre parole, come ci informa la legge di Ohm:

[math]V = R \cdot I[/math]

Il valore della corrente (I) generata in quel circuito è quindi pari a:

[math]I = \frac{V}{R}[/math]

La resistenza R è normalmente rappresentata in un circuito elettrico con il simbolo della FIGURA 2 in allegato).

Allo stesso modo, se noi applichiamo ad un circuito un generatore di tensione alternata (cioè un generatore che inverte la polarità della tensione (+ o -) con una certa frequenza (f)), il circuito sarà percorso da una corrente (I) che è legata ad una "difficoltà di percorso" che chiameremo in questo caso "impedenza" (Z).
L'impedenza è quindi qualcosa di simile (ma molto più complesso) alla resistenza vista precedentemente, così come sono più complessi i dati che si ricavano dal circuito.

Innanzi tutto l'impedenza è composta da due termini:

1) una resistenza analoga a quella analizzata precedentemente;
2) un'altra parte detta reattanza, che si indica con il simbolo X. La reattanza, a sua volta, può essere di tipo induttivo o di tipo capacitivo. Queste due tipologie si rappresentano con i simboli della FIGURA 3 in allegato, e si indicano rispettivamente con Xl e Xc. La prima è detta "reattanza induttiva" e la seconda "reattanza capacitiva".

In formula, possiamo scrivere che:

[math]Z = R + X_l + X_c[/math]

Attenzione però! I tre termini non possono essere sommati algebricamente (e quindi direttamente). Infatti si tratta (e lo vedremo meglio successivamente) di una somma vettoriale.

Torniamo al caso di una resistenza "sollecitata" da un generatore di tensione alternata.
In tal caso, vale sempre la regola:

[math]V = R\cdot I[/math]

...ma essa va letta in modo "vettoriale".

In altre parole, ad una corrente (I) che attraversa la resistenza (R), e che rappresentiamo con un vettore sull'asse delle ascisse positive...

[math]\longrightarrow[/math]
(I)

...corrisponde una caduta di tensione (V) di modulo:

[math] V= R\cdot I[/math]

...ma essa è rappresentata da un vettore sempre sull'asse delle x positive.

[math]\longrightarrow[/math]
(I)
[math]\longrightarrow[/math]
(V)

Come si vede, abbiamo introdotto la rappresentazione vettoriale di corrente e tensione nel caso di una resistenza, cosa che si rivelerà essenziale quando andremo ad analizzare la reattanza.

In questa particolare formula (quella che lega corrente, caduta di tensione e resistenza) la rappresentazione vettoriale delle grandezze è invece inutile perchè il vettore corrente e il vettore tensione sono in fase tra di loro (cioè paralleli), e quindi possiamo considerarne solo i moduli.

Il discorso cambia, come detto, nel caso della reattanza.
Prendiamo il caso della reattanza induttiva, scaturita da un'induttanza (L).

La formula che lega L ad Xl è:

[math]X_l = ω \cdot L[/math]

...dove ω a sua volta è uguale a:

[math]ω = 2π \cdot f[/math]

"f" è la frequenza con la quale il generatore di tensione alternata genera le onde di tensione.

Ma la rappresentazione grafica della (I) e della (V), ovvero della corrente e della tensione ai capi dell'induttanza, è ben diversa dal caso precedente della resistenza.

Infatti al passaggio di una corrente (I) all'interno di una induttanza (che abbiamo detto è rappresentata da un vettore parallelo all'asse delle ascisse) si determina una tensione V che però stavolta è di 90° "in anticipo" rispetto alla corrente (I).
Cioè il suo vettore rappresentativo (V) è (o se preferiamo "è orientato") sulle ordinate positive (FIGURA 4 in allegato).

Il legame tra i moduli dei vettori V ed I è dato stavolta da:

[math]V = ωLI[/math]

...dove, ricordiamo, ωL è il valore della reattanza induttiva.

Diversa è la situazione dei vettori che li rappresentano.
Se vogliamo scrivere la formula in modo algebrico abbandonando i vettori, dobbiamo però ricorrere ai numeri complessi, cioè introdurre il concetto di "numero immaginario".
Per chi conosce bene i numeri complessi, è facile trasformare la formula:

[math]\vec V = ωL\vec I[/math]

In:
[math]V = iωLI[/math]

Da ciò è facile dedurre che la reattanza induttiva Xl si può scrivere come:

[math]X_l = iωL[/math]

Ricordando la rappresentazione vettoriale delle grandezze coinvolte, possiamo concludere che, in presenta di un'induttanza (L) "sollecitata" da un generatore alternato di frequenza f, ne scaturisce una reattanza induttiva Xl = ωL tale da creare un "anticipo di fase" di 90° della tensione V rispetto alla corrente I che l'attraversa. Detto altrimenti, possiamo dire che la corrente (I) è in ritardo di 90° sulla tensione (V).

Un discorso del tutto analogo può essere fatto anche per la reattanza capacitiva, cioè quella generata in un circuito da un condensatore di capacità C sollecitato da un generatore alternato di frequenza f. Il valore della reattanza capacitiva è pari a:

[math]X_c =\frac{1}{ωC}[/math]

Anche in questo caso "entrano in gioco" i vettori. Ma stavolta ad una corrente (I) (sempre rappresentata da un vettore parallelo alle ascisse positive) corrisponde una caduta di tensione (V) ai capi del condensatore "in ritardo" di 90° sulla corrente. In altre parole, la corrente è in anticipo di 90° sulla tensione, come è possibile vedere nella FIGURA 5 in allegato.

Anche in questo caso possiamo passare dalla rappresentazione vettoriale ad una con i numeri complessi, ricordandoci che la tensione è stavolta sulle ordinate negative e quindi dovremo mettere il segno "-". Per cui, da:

[math]\vec V = X_c \cdot \vec I[/math]

...potremo con i numeri complessi scrivere:

[math]V = -i \frac{1}{ωC}\cdot I[/math]

A questo punto possiamo riscrivere la formula dell'impedenza in modo corretto. Cioè non più come:

[math]Z = R + X_l + X_c[/math]

Ma come:
[math]\vec Z = \vec R + \vec X_l + \vec X_c [/math]

Ovvero, se passiamo ai numeri complessi, come:

[math]Z = R + X_li - X_ci[/math]

La formula completa dell'impedenza ci permette infine di fare un'ultima considerazione su di essa, e cioè che un'impedenza formata dalla sola reattanza capacitiva o dalla sola reattanza induttiva, o a maggior ragione dalla sola resistenza, è nel campo pratico da escludersi. Un'impedenza sarà infatti sempre caratterizzata dalla combinazione di almeno due, se non di tutti e tre, i termini che abbiamo indicato nella formula soprastante.
In tal caso è evidente il vantaggio di operare con i numeri complessi. Infatti l'uso di tale strumento matematico ci consente di "sommare" impedenze o parti di impedenza tra di loro con maggiore velocità dei vettori.

Il risultato finale che scaturirà dal calcolo sarà del tipo:

[math]Z= a \pm ib[/math]

...di cui sarà facile la rappresentazione grafica e quindi del vettore corrispondente alla tensione e alla corrente interessate.

Si scoprirà quindi che le tensioni e le correnti generate in un campo elettrico di tensione alternata saranno sempre una in ritardo o in anticipo rispetto all'altra, ma mai con angoli retti: solo con angoli inferiori ai 90°.

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