Infinito e finito: il bivio

IL BIVIO

Dietro l’angolo del finito

c’è sempre l’ infinito

Lavoro di: Rotondaro Domenico

Liceo Scientifico “E. Mattei"

Classe Vª A

Anno Scolastico 2008/2009

Indice

• Premessa

• L’universo è infinito

-Scoperta dell’espansione dell’universo ……………………………………………………..

Pag.

-Ipotesi cosmologiche sulla nascita dell’universo ………………………………………… //

5 //

4 6

// 6

1

-Evoluzioni dell’universo …………………………………………………………………….. // 4

• L’infinito matematico: dagli insiemi all’energia potenziale

-La teoria degli insiemi ……………………………………………………………………….. Pag. 6

Pag.

-Il concetto di limite ………………………………………………………………………….

8

-Limite destro e sinistro di una funzione………………………………………………………

// 9

-Limite finito per una funzione che tende all’infinito ………………………………………..

// 9

-Limite infinito per una funzione che tende all’infinito ………………………………………

//

-Limite infinito per una funzione che tende al finito ………………………………………….

10

-Il concetto di energia potenziale ……………………………………………………………

// 10

-L’energia potenziale dipende solo dalla distanza ………………………………………… //

// 11

- Energia potenziale elettrica di due cariche puntiformi a distanza infinita ……………….

// 12

// // 13

// 14

• M’illumino d’immenso…

-L’universo infinito di Lucrezio ………………………………………………………………… Pag.

Pag.

- L’infelicità dell’uomo e la poetica del vago e indefinito …………………………………. //

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- Analogia tra il finito e l’infinito di Ungaretti …………………………………………….. //

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// 18

• L’eterno dualismo tra finito e infinito

-L’infinito negativo…………………………………………………………………………….. Pag.

Pag.2

-I paradossi di Zenone……………………………………………………………………….. //

0

-La rivalutazione del concetto di infinito …………………………………………………… //

// 20

-La tendenza dell’Io verso l’infinito ………………………………………………………... //

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-“La bellezza” è l’infinito espresso in modo finito ………………………………………….. //

// 22

-Viandante sul mare di nebbia ……………………………………………………………….. //

// 23

-La riconciliazione tra finito e infinito ……………………………………………………….. //

// 24

-La rivalutazione del finito …………………………………………………………………... //

// 26

// 27

• L’infinito temporale nel Teatro dell’Assurdo

-La nascita di un nuovo genere teatrale ……………………………………………………..

Pag.

Pag. 28 /

-Waiting for Godot …………………………………………………………………………… //

/ 28

• Conclusione Vorrei poter vedere l’infinito per

capire meglio il suo significato, ma

a quel punto non sarebbe più infinito.

2

Voglio dedicare questo mio lavoro a tutte le persone che mi hanno sempre

sostenuto nei momenti più difficili, alla mia famiglia, a chi mi ha sempre voluto

bene ed accettato nonostante i miei “infiniti” difetti, a chi mi ha criticato

quando ho sbagliato perché così facendo mi ha permesso di crescere e infine a

tutti coloro che hanno contribuito a farmi diventare quello che sono. Grazie!

Domenico

Premessa

Che cosa significa infinito?

Già cercare di dare una definizione al termine infinito potrebbe sembrare un

controsenso; come si può definire qualcosa che in realtà non riusciamo a vedere, a

toccare … a fare nostra? Come si può determinare in modo finito qualcosa che invece

non ha limiti, non ha forma?

Io penso che tutti noi almeno una volta ci siamo posti questa domanda, che ad alcuni

potrebbe sembrare scontata, senza senso ma che in realtà nasconde un misterioso

significato; la risposta più ovvia è che l’infinito è tutto ciò che risulta illimitato, che non

ha fine, opposto al finito.

Troppo semplice dire ‹‹L’infinito è ciò che non è finito››, troppo complicato trovare altre

risposte.

Proprio per questo motivo, io l’infinito non saprei come spiegarlo ma allo stesso

tempo, in modo irrazionale, sento che esiste e lo vedo in tutto quello che amo!

Il mio lavoro, così come si deduce dal titolo “Il bivio”, parte proprio dal contrasto tra

concetto di finito e concetto di infinito, volendo sottolineare che l’uomo si trova

‹‹L’individuo, infatti, si sa finito ma aspira all’infinito, si

sempre di fronte ad una scelta: 3

sa imperfetto ma aspira alla perfezione››. L’immagine sulla copertina, che ho trovato

per caso navigando in internet, vuole rappresentare, secondo me, l’eterno contrasto

tra la finitezza dell’uomo di fronte all’infinità della natura. Il finito è altro dall’infinito

perché l’infinito è quella totalità dell’essere che il finito non è. Il finito, dunque, non

differisce dall’infinito per qualcosa che è ma per qualcosa che non è.

Da sempre questo contrasto, questo “bivio”, ha interessato, affascinato ma allo stesso

tempo spaventato l’uomo e spesso ha originato pareri diversi, a volte anche

nettamente opposti. L’Universo è infinito?

L'’idea di infinito, nel senso di qualcosa che non ha limite, è sempre esistita

nella mente umana: probabilmente anche gli uomini primitivi, alzando lo

sguardo al cielo, percepivano in qualche modo questa idea. Il mio intento è

quello di trovare nella realtà qualche punto di partenza per la riflessione

sull’infinito, e il primo passo è quello di chiedersi se effettivamente l’universo

sia infinito o se in esso esista qualcosa che sia tale. Prima di affrontare questo

dubbio, tuttora sotto dibattito, è necessario fare alcune premesse sull’origine

dell’universo.

• Scoperta dell’espansione dell’universo

Le prime teorie sulla sua nascita furono esposte dall’inizio del Novecento. Tra il 1910 e

il 1915 si scoprì che le righe degli spettri delle galassie

risultano sempre spostate verso il rosso cioè verso

lunghezze d’onda maggiori. Questo fenomeno detto red

1

shift si spiega considerando l’effetto Doppler e indica

che le galassie si stanno allontanando dalla nostra

Galassia.

Nel 1929 l’astronomo inglese Edwin Powell Hubble

dimostrò che lo spostamento delle righe spettrali verso il

rosso è tanto più evidente quanto maggiore è la distanza

1 L’effetto Doppler è un cambiamento apparente della frequenza o della lunghezza d’onda che

dipende dalla posizione dell’osservatore rispetto alla sorgente e viceversa. Quando sorgente e

osservatore si avvicinano, le lunghezze d’onda si “accorciano” mentre la frequenza aumenta.

Quando sorgente e osservatore si allontanano si verifica un “allungamento” delle lunghezze

d’onda che di conseguenza hanno frequenza minore.

4

della galassia dal nostro Sistema Solare. Egli concluse che le galassie erano in

costante allontanamento tra loro e non solo dalla nostra Galassia e che la velocità del

loro allontanamento è direttamente proporzionale alla loro distanza misurata dalla

Terra.

Il movimento di allontanamento delle galassie è detto moto di recessione e la

è

relazione tra velocità di allontanamento e distanza galassia-Terra

Esempio di spostamento verso il rosso: a

sinistra lo spettro del sole, a destra quello

di una galassia

espressa dalla legge di Hubble: v = H d

dove:

v è la velocità di allontanamento espressa in km/s;

H è la costante di Hubble (il cui valore è compreso tra 40 e 80 Km/s/Mpc;

d è la distanza dalla Terra espressa in Mpc

• Ipotesi cosmologiche sulla nascita dell’Universo

La scoperta dell’espansione dell’universo fu una vera rivoluzione, infatti per

spiegare il moto di recessione delle galassie è necessario ammettere che

l’Universo abbia avuto un inizio e muti nel corso del tempo. Se immaginiamo di

percorrere a ritroso il cammino delle galassie nel tempo arriveremo a un istante

in cui le galassie erano vicine l’una all’altra e compresse in uno spazio

ridottissimo. Utilizzando la costante di Hubble è possibile stabilire in modo

approssimato quando ebbe inizio l’espansione dell’Universo datandone quindi

l’origine.

Per spiegare l’origine dell’universo nel secolo scorso sono state formulate due

ipotesi cosmologiche fondamentali: l’ipotesi dello stato stazionario e

l’ipotesi del Big Bang. Secondo la prima ipotesi, l’universo è uniforme nello

spazio e nel tempo, non ha un inizio preciso e non cambia nel tempo. Secondo

il modello del Big Bang, l’universo è nato in seguito a un’esplosione a partire da

una singolarità. Per singolarità si intende uno stato iniziale in cui densità e

temperatura sono infinite e quindi un punto dello spazio in cui il campo

gravitazionale ha valore infinito.

• Evoluzioni dell’Universo

Ora possiamo affrontare il discorso che riguarda le varie tipologie possibili

dell’universo.

Gli astrofisici ritengono che il

parametro da determinare per

capire quale sarà l’evoluzione

dell’universo sia la densità.

La densità, infatti, dipende

dalla quantità di materia

presente e questa a sua volta 5

determina l’intensità della forza di attrazione gravitazionale che è l’unico

fattore che può impedire

l’espansione dell’universo. Gli scenari futuri possibili potrebbero essere quattro:

1- Universo chiuso

2- Universo aperto

3- Universo piatto

4- Universo in accelerazione

Se la densità dell’universo è sufficiente per generare una forza gravitazionale in

grado di fermare la spinta all’espansione,

l’universo cesserà di espandersi e ricadrà su

se stesso contraendosi. Il gigantesco

collasso prende il nome di big crunch e

quindi quando la densità media è maggiore

universo

della densità critica si parla di

2

chiuso. Quest’universo è caratterizzato da

una geometria chiusa come quella di una

sfera ed è simile a un’ellisse.

Se, invece, la densità dell’universo è troppo

piccola e non genera una forza

gravitazionale sufficiente per impedire

l’espansione, le galassie si allontaneranno

sempre di più e le stelle si esauriranno fino a

universo

spegnersi. L’universo, detto

aperto diventerebbe sempre più freddo,

oscuro e vuoto. Si parla quindi di universo aperto quando la densità media

risulta minore della densità critica. In questo caso la geometria sarà aperta con

curvatura negativa.

Se la forza gravitazionale non sarà sufficiente per causare una contrazione ma

riuscirà a contrastare l’espansione tanto da rallentarla sempre più, senza

universo piatto.

provocare un collasso, si parlerà di Secondo questa ipotesi la

densità media dell’universo è esattamente uguale alla densità critica e la

geometria è giustamente piatta.

universo in accelerazione

Il quarto tipo di universo: , esprime l’idea che il

nostro universo sia in fase di rapida espansione e che il ritmo di questa

espansione stia aumentando. Questa idea o teoria, come si preferisce

chiamarla, viene associata proprio al fatto che le galassie siano in continuo

allontanamento tra loro così come ha dimostrato Hubble, argomento trattato

all’inizio del paragrafo.

L’infinito matematico: dagli insiemi all’energia

potenziale

2 Per densità critica (solitamente indicato con il simbolo Ω) s’intende un ipotetico valore critico

dal quale dipende la curvatura dell’universo; secondo esso, infatti, può esistere una curvatura o

negativa o positiva. 6

Il concetto di infinito è sicuramente uno dei concetti più affascinanti di tutta la

matematica, la nostra normale intuizione, infatti, non è in grado di studiare

correttamente l'infinito, anche la matematica lo fa entro certi limiti, vediamo

come.

• La teoria degli insiemi

Quando la nostra mente pensa all'infinito quasi sempre prende come riferimento il

mondo dei numeri. L'insieme più semplice di numeri che possiamo immaginare è

quello dei numeri naturali, esso è chiaramente infinito infatti la successione crescente

dei numeri naturali non ha fine perché fissato comunque un numero naturale è

sempre possibile trovare un numero maggiore di esso. Tuttavia noi diciamo che

anche l'insieme dei numeri pari o quello dei numeri dispari è infinito, questo ci pone

davanti alla questione di valutare se sono di più i numeri pari o quelli dispari, oppure i

naturali e i pari. Alla prima questione viene naturale rispondere che ci sono tanti pari

quanti dispari, perché quando contiamo troviamo un pari e un dispari, alternati; la

seconda domanda pone maggiori difficoltà, infatti ci verrebbe da rispondere che ci

sono più naturali che pari, dato che l'insieme dei numeri pari è contenuto in quello dei

numeri naturali, ma allora in che senso sono entrambi infiniti?

Qualcuno potrebbe rispondere che sono domande senza senso, ma in realtà la

matematica è riuscita a rispondere in maniera rigorosa a queste domande grazie alla

teoria degli insiemi del matematico tedesco Georg Cantor. In questo contesto, un

insieme si dice infinito o finito a seconda che si possa o meno stabilire una

corrispondenza biunivoca (uno a uno) tra i suoi elementi e quelli di un suo

A B

sottoinsieme proprio (un insieme è un sottoinsieme proprio del