Caos deterministico

Narbone Serena

Classe VAS

Maturità 2012: il caos

Deterministico

“Il battito d’ali di una farfalla in Brasile può causare un uragano in Texas?” Philip Merilees

Indice

• Introduzione
• “Effetto farfalla: nascita e ripercussioni”
• Che cos’è il caos deterministico?
• Le traiettorie del caos
• Il caos intorno a noi

Introduzione

La parola caos deriva dal termine greco cháos, che vuol dire fenditura o anche, in senso figurato, abisso. Nelle antiche cosmogonie greche cháos stava a indicare la materia primigenia e informe, che costituiva l’universo primordiale prima che gli elementi aria, acqua, terra e fuoco si combinassero a formare il kósmos, l’universo ordinato. Il cháos era quindi l’abisso che precede la forma, da un lato assenza di ordine, dall’altro voragine feconda di possibilità: l’universo in potenza, prima che si costituisse in strutture stabili e definite.

Oggi nella scienza la parola caos ha un significato specifico: la teoria del caos deterministico studia quei sistemi dinamici la cui evoluzione è estremamente sensibile alle condizioni iniziali. Variazioni anche minime nei dati di partenza provocano a lungo andare grandi effetti nella dinamica del sistema, portandolo verso stati completamente diversi. Molti sistemi reali possiedono questa caratteristica, dall’atmosfera terrestre al mercato azionario.

Si parla di caos deterministico, perché sono conosciute e ben determinate le relazioni tra cause ed effetti all’interno del sistema, ma ciò non impedisce che vi si instauri un regime caotico. All’origine di questo comportamento sta la non linearità delle equazioni che li descrivono; è per questo che la teoria del caos prende anche il nome di teoria dei sistemi non lineari.

La non linearità pone diversi problemi. Per esempio, l’estrema sensibilità alle condizioni iniziali fa sì che il comportamento di un sistema non sia predicibile a lungo termine. Questo è uno dei motivi per cui le previsioni del tempo sono tanto più affidabili quanto più sono a breve scadenza. Inoltre, le equazioni non lineari non ammettono, di solito, una soluzione esprimibile nella forma di una funzione. Si rende allora necessario l’uso massiccio di potenti calcolatori.

A partire dalle ricerche del meteorologo americano Edward Lorenz, che negli anni Sessanta segnano la nascita della teoria del caos, numerosissimi fenomeni sono stati spiegati con modelli caotici. La scienza del caos ha trovato applicazione in moltissimi campi, dalla meteorologia alla medicina, dalla dinamica dei fluidi alla biologia, dall’elettromagnetismo all’ottica laser. I sistemi descritti da modelli caotici sono spesso di grande complessità.

Eppure, già sistemi estremamente semplici come il pendolo doppio possono dare origine al caos: le forze in gioco sono note e ben definite, eppure le corrispondenti equazioni non lineari danno vita a soluzioni caotiche.

Non sono mai stata convinta che tutto l’universo fosse regolato da leggi meccaniche e deterministiche, ho sempre voluto sperare che in esso vi fossero fenomeni non regolari, ma bensì casuali e caotici. Così ho iniziato a documentarmi e sfogliando libri ho scoperto che la cosa che speravo era effettivamente così. Ora mi accingo a spiegare a grandi linee che cos’è il caos deterministico, quali sono le traiettorie dei fenomeni caotici e come il caos domina la vita di tutti i giorni. Spero di riuscire a far capire questo argomento che spiegherò cercando di far incuriosire; non andrò ad evidenziare il fenomeno sotto l’aspetto matematico perché è argomento complesso, che spero di riuscire a studiare e a capire più avanti.

“Effetto farfalla: nascita e ripercussioni”

La teoria del caos, soprannominata talvolta “effetto farfalla”. Il battito d’ali di una farfalla può realmente provocare un uragano a migliaia di chilometri di distanza? La risposta è sì, e accade in continuazione.

Nel 1792 Edward Lorenz, il pioniere delle ricerche sul caos, doveva tenere un seminario alla conferenza della American Association for the Advancement of Science, ma non era riuscito a trovare un titolo. Fu il coordinatore della sua sessione, il meteorologo Philip Merilees, che finì per avere un’idea. In un articolo di nove anni prima aveva citato il commento sprezzante di un meteorologo sulla teoria del caos: costui aveva detto che se la teoria fosse stata giusta, “un battito d’ali di un gabbiano avrebbe potuto cambiare per sempre il corso del clima”. A quanto pare la frase era rimasta impressa nella memoria di Merilees, che ne elaborò una variante: fu così che nacque la classica frase, che fu proprio il titolo della conferenza: “Il battito d’ali di una farfalla in Brasile può scatenare un tornado in Texas?”

La definizione ufficiale dell’“effetto farfalla” è “dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali”. L’idea di fondo è che quasi tutti i sistemi che cambiano in funzione del tempo evolveranno in maniera radicalmente diversa non appena si introduca la più piccola variazione nel punto di partenza. Le conseguenze di un’osservazione tanto semplice sono così vaste da aver dato origine a un campo di ricerca completamente nuovo.

Le ripercussioni della teoria del caos si sono fatte sentire in ogni branca della scienza. Dalla dinamica dei pianeti alla diffusione delle epidemie nella popolazione, l’influenza della teoria del caos è al tempo stesso profonda e importante. Sembra che lo stesso Universo si trovi in uno stato caotico. Una notizia del genere non è stata ben vista da Pierre Simon Laplace, che nel XVIII secolo aveva aderito con fervore alla rivoluzione newtoniana. Il suo trattato sulla meccanica celeste, in cui prendeva le mosse dalla teoria newtoniana della gravitazione per descrivere i movimenti di tutti i pianeti, fu un capolavoro. Qualche anno più tardi Laplace arrivò a vantare la capacità della scienza di spiegare qualsiasi fenomeno:

“Un’intelligenza che, in un dato istante, conoscesse tutte le forze che animano la natura e la rispettiva posizione degli esseri che la costituiscono, e che fosse abbastanza vasta per sottoporre tutti i dati della sua analisi, abbraccerebbe in un’unica formula i movimenti dei più grandi corpi dell’Universo come quello dell’atomo più sottile; per una tale intelligenza tutto sarebbe chiaro e certo e così l’avvenire come il passato le sarebbero presenti ai suoi occhi”.

Poche decine di anni dopo la morte di Laplace, tuttavia, quella visione del mondo cominciò a collassare. Nel 1860, il fisico scozzese James Clerk Maxwell analizzò l’amplificazione di piccole variazioni nell’ambito delle collisioni molecolari. Trent’anni dopo, Henri Poincaré scoprì che l’attrazione gravitazionale reciproca di tre corpi in movimento mostrava una dipendenza sensibile alle condizioni iniziali. Negli anni ’20, Balthasar van der Pol, un ingegnere olandese, mise in evidenza il comportamento caotico dei toni prodotti da un apparecchio telefonico collegato ad una valvola termoionica: ogni tanto la corrente elettrica che regolava il funzionamento dava origine a quello che oggi chiameremmo feedback, o retroazione, e che van der Pol riuscì a descrivere in un’equazione.

L’equazione di van der Pol fu sicuramente di grande aiuto per gli ingegneri che utilizzavano le valvole termoioniche per costruire sistemi elettronici come gli apparati radio, ma il rumore che descriveva continuava ad essere visto come una semplice scocciatura. In realtà il fenomeno fu studiato anche da altri matematici e ingegneri, ma nessuno vi aveva notato alcunché di particolare. Nonostante il gran numero di persone che in qualche modo si era interessato ai fenomeni caotici, la teoria del caos vide realmente la luce solo con Edward Lorenz.

Lorenz si era appassionato alla meteorologia quando era ancora un bambino, e aveva trascorso gli anni della Seconda guerra mondiale lavorando come meteorologo per l’aviazione militare americana. Anni dopo, diventato ricercatore al Massachusetts Institute of Technology, ebbe l’idea di combinare la meteorologia e la matematica con una scienza nata da poco, l’informatica, e costruì un processore capace di riprodurre un semplice modello climatico. Fu così che scoprì l’effetto farfalla.

Come molte altre scoperte fondamentali nella storia della scienza anche quella di Lorenz avvenne per caso. Un pomeriggio del 1961 Lorenz stava effettuando una simulazione meteorologica sul suo computer. Non avendo molto tempo a sua disposizione, scelse da un listato i valori da cui ripartire e li inserì per riprendere la simulazione da quel punto preciso. Il risultato si rivelò sbagliato, cioè diverso da quello originale.

Preoccupato per quello che sembrava un errore ricontrollò i numeri utilizzati come input e si accorse di averli arrotondati alla terza cifra decimale, dando per scontato che la differenza fosse irrilevante. Là dove il computer aveva calcolato 0,506127, Lorenz si era limitato ad inserire 0,506. La differenza aveva avuto un effetto enorme: egli aveva scoperto la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, un’imprevedibilità che nasce dalla nostra conoscenza limitata.

Le scale dei nostri righelli non sono infinitamente piccole, le nostre azioni non sono infinitamente armoniose e le nostre macchine non sono infinitamente potenti. Perciò tutte le misure che effettuiamo saranno affette da un errore piccolo ma finito, e lo stesso avverrà per tutti i calcoli fatti a partire da quelle misure.