Tra gioco e realtà: teoria dei giochi tesina

Teoria dei giochi - Simone Chiodi

Liceo Scientifico “ISIS Luigi Einaudi”

Simone Chiodi

Esame di Stato a.s. 2013/2014

Presentazione orale supportata da PowerPoint

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- 2 - Teoria dei giochi - Simone Chiodi-

Indice

1. Introduzione
2. Cenni storici
3. Elementi di teoria dei giochi
4. Il gioco
5. Rappresentazione dei giochi
6. Classificazione giochi
7. Teoremi
8. Applicazione
9. Esempi di gioco
10. Storia
11. Filosofia
12. Arte

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1. Introduzione

L'idea di trattare la Teoria dei Giochi è nata in seguito ad una lezione, a cui ho assistito presso l'Università di Bergamo, tenuta dal professor Gambarelli all'interno del progetto ponte tra l'Università e le scuole superiori della provincia.

Prima di quella lezione non avevo mai sentito parlare di questa materia, ma spinto dal mio interesse per la statistica, per i giochi e dalla curiosità ho deciso di approfondire questo argomento; inizialmente, ancor prima di presiedere alla lezione, per capire di cosa trattasse e successivamente mi sono documentato in maniera approfondita per portare la teoria dei giochi come argomento centrale della tesina.

Le maggiori difficoltà incontrate sono state quelle di trovare collegamenti consoni per le diverse materie.

Questo problema non si è verificato per storia, dove la difficoltà è stata di scegliere quale argomento, tra i diversi possibili, poteva essere il più idoneo.

Data l'applicazione della teoria dei giochi alle strategie militari, si poteva facilmente legare sia alla Prima che alla Seconda Guerra Mondiale; ma alla fine la scelta è ricaduta sulla Guerra Fredda, non solo per il medesimo periodo in cui Guerra Fredda e Teoria dei Giochi si sono sviluppate ma, più in generale, perché molti concetti della teoria dei giochi facilmente collegabili alla Guerra Fredda.

Meno facile è stato il percorso per Filosofia ed Arte: dove le scelte sono ricadute

Il Carnevale di Arlecchino.

rispettivamente su Wittgenstein e sull'opera di Joan Mirò

La scelta di Wittgenstein è stata fatta basandomi sulle considerazioni fatte dal filosofo austriaco sul linguaggio, tra cui quello scientifico, e sulla logica: logica e linguaggio scientifico che sono i fondamenti anche della materia di cui mi occuperò.

Il Carnevale di Arlecchino Ceci n'est pas une pipe

In Arte, oltre al ho analizzato anche

di René Magritte, per ricollegarmi al pensiero di Wittgenstein sulla rappresentazione del mondo.

Il Carnevale di Arlecchino è stato scelto sulla base di due affermazioni fatte da due tra i più grandi teorici della teoria dei giochi: Robert Aumann e John Nash.

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Il Carnevale di Arlecchino

Rappresentazione del mondo

Storia dell'arte

Wittgenstein

Teoria dei giochi

Cenni storici

Elementi di un gioco

Equilibrio di Nash

Tipi di gioco

Guerra fredda

Teoremi

Dilemma del prigioniero

Esempi di gioco

Gioco del pollo

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Tutti noi ogni giorno siamo di fronte a dover compiere continue scelte: materie come la filosofia, l'economia, la sociologia, da sempre si sono occupate di studiare queste situazioni ma solo da un punto di vista empirico e mai da un punto di vista matematico.

Questo desiderio ha spinto matematici, fisici, economisti a creare modelli applicabili in più situazioni.

Vede così la luce la Teoria dei Giochi; che ha come scopo la modellizzazione matematica di questo processo decisionale.

2. Cenni storici

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Il termine “teoria dei giochi” deriva dal fatto che le prime osservazioni e i primi studi furono fatti in relazione a veri giochi, come gli scacchi, dama, go; data la profonda somiglianza dei problemi decisionali con i giochi di società.

Il primo approccio ad una situazione di conflitto risale al 1913 e fu enunciato da Zermelo in un articolo; partendo da osservazioni, proprio, sul gioco degli scacchi, si ha, così, il primo teorema formale della Teoria dei giochi.

Questo teorema afferma che nel gioco degli scacchi è strettamente determinato secondo un procedimento logico, ossia vale una di queste tre alternative:

• Vince il bianco;
• Vince il nero;
• Patta.

L’ovvietà della conclusione non pregiudica l’importanza di questo passo, in quanto è la dimostrazione della possibilità di trattare scientificamente situazioni di questo genere.

Si può, però, parlare di teoria dei giochi solamente a partire dal 1921 quando Emile Borel utilizzò per la prima volta questa espressione. Borel pose il problema di determinare in quali casi esista una strategia che si possa considerare ottimale.

Sulla base delle considerazioni di Borel e di Zermelo venne enunciato il teorema del MiniMax, che mostra come tutti i giochi hanno una soluzione, di John von Neumann nel 1928. Il teorema fu rivisto a più riprese dallo stesso matematico statunitense ed il risultato finale del 1944 culminò con la pubblicazione del testo

Theory of Games and Economic Behavior (Teoria dei giochi e comportamento economico), scritto da Von Neumann con l’economista Oskar Morgenstern.

Con la pubblicazione di questo libro, la teoria dei giochi inizia ad essere una disciplina scientifica a sé stante. Oltre ad esporre il definitivo teorema minimax quest'opera ha rappresentato il primo tentativo di applicare la teoria dei giochi ad altri ambiti, in questo particolare caso all'economia.

Altro evento cruciale nella storia della teoria dei giochi è la pubblicazione del 1951 di John Nash dei propri risultati a proposito di un equilibrio nei giochi non cooperativi; dimostrò, infatti, che ogni gioco non cooperativo a due o più giocatori, anche non a somma zero, ammette un equilibrio, poi ribattezzato “equilibrio di Nash”.

Questo lavoro nel 1994 gli frutterà il Nobel per l’economia insieme a John Harsanyi e Reinhard Selten che negli anni successivi perfezionarono il suo lavoro.

Il Nobel per l'economia, dato a Nash nel 1994 per gli sviluppi apportati alla teoria dei giochi, non resta l'unico dato ad un teorico dei giochi.

3. Elementi di teoria dei giochi

3.1 Elementi dei giochi

La teoria dei giochi è una branca della matematica applicata, che tenta di analizzare da un punto di vista matematico il comportamento in situazioni strategiche, nelle quali il successo di un individuo nel fare delle scelte dipende dalle scelte degli altri.

La teoria dei giochi potrebbe essere descritta in maniera più appropriata come “teoria delle decisioni” poiché si occupa principalmente del comportamento di chi prende le decisioni e di come queste si influenzano a vicenda è quindi la scienza dell'interazione

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strategica dove identità (i giocatori) interagiscono le une con le altre mentre perseguono obiettivi diversi.

Il gioco

Un gioco, per poter essere analizzato secondo gli schemi della teoria dei giochi deve essere caratterizzato da tre elementi principali:

• Giocatori:

sono le identità, sopra citate, che interagiscono le une con le altre.

Ogni giocatore del gioco è caratterizzato dal principio di razionalità, cioè che il soggetto coinvolto si comporti in modo tale da scegliere la strategia utile per massimizzare il proprio guadagno ed inoltre conosca la razionalità degli altri giocatori aspettandosi da questi un comportamento altrettanto razionale.

In presenza di giocatori irrazionali non sarebbe possibile giungere a soluzioni inquadrabili in un modello matematico.

• Strategia:

consiste nel piano completo che un giocatore ha per gestire la partita. Esso specifica un'azione ammissibile del giocatore per ciascuna circostanza in cui il giocatore può essere chiamato ad agire. La strategia può essere pura o mista, si parla di strategia mista quando il gioco razionale non è descrivibile attraverso una singola strategia pura e quindi non deterministico.

Una strategia può poi essere dominante o dominata: si parla di strategia dominante quando quella giocata garantisce il miglior guadagno indipendentemente dalla giocata degli altri giocatori; una strategia sarà dominata invece se garantisce minori guadagni indipendentemente dalle giocate degli altri giocatori.

• Pay-off:

è la fase conclusiva dei giochi, ovvero il guadagno finale ottenuto da ogni giocatore in relazione alle proprie giocate.

3.2 Rappresentazione dei giochi

Per lo studio dei modelli di un gioco è necessario rappresentare tutte le possibili azioni dei giocatori con i relativi pay-off, in modo da rendere visibile l’evoluzione della partita.

Le rappresentazioni proposte dalla Teoria sono due: la rappresentazione in forma normale e quella in forma estesa.

• Forma normale: La rappresentazione dei giochi in forma normale è caratterizzata, come viene mostrato nell'esempio sottostante, dall'utilizzo di una matrice a doppia entrata dove le righe e le colonne rappresentano le mosse che i rispettivi giocatori di riga e colonna possono compiere.

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In ogni cella sono rappresentate le vincite, pay-off che i due giocatori (di riga e di colonna) ottengono attuando le mosse raffigurate nelle corrispondenti righe e colonne;

B B

I \ II 1 2

A 0 , 0 0 , 1

1

A 1 , 0 -1 , -1

2

• Forma estesa: Rappresentazione dei giochi a forma estesa consiste in una descrizione formale completa: il gioco viene rappresentato come un albero, nel quale ogni nodo rappresenta ogni possibile stato di avanzamento del gioco, ci sono poi i rami che rappresentano quella che è stata la decisione presa dal giocatore in ogni nodo.

La rappresentazione in forma estesa rispetto alla forma normale permette di studiare quei giochi in cui il giocatore fa più di una mossa e quindi giochi a strategia mista; I

S D

II II

S D S D

I I I

I

S D S D S D S D

II II II

II II II II II

S D S D S D S D S D S D S D S D

(3,-1) (2,2) (3,4) (1,3) (0,-1) (-2,0) (5,-2) (3,8) (4,2) (1,2) (0,4) (1,-2) (0,1) (5,5) (2,-8) (7,-3)

3.3 Classificazione giochi

Una prima distinzione importante tra i vari giochi deve essere fatta a seconda del tipo di interazione che possono avere i giocatori, abbiamo così una prima suddivisione tra giochi cooperativi e non cooperativi.

• Giochi cooperativi: quando i giocatori, che perseguono una strategia comune, possono accordarsi preventivamente circa la strategia da adottare al fine di ottenere entrambi il massimo guadagno, secondo accordi vincolanti. La teoria cooperativa ignora le procedure del gioco per concentrarsi invece sulle possibilità di accordo.

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Esempi si possono trovare nei campi che prevedono l'interazione umana (società, economia, strategie militari).

• Giochi non cooperativi: i partecipanti in questo caso devono scegliere autonomamente la propria strategia. In questo caso l'enfasi è, differentemente da ciò che avviene nei giochi cooperativi, sull'individuo e sulle strategie che può usare. Un esempio di giochi non cooperativi sono la dama o gli scacchi.

Altra distinzione importante è quella derivante dalla quantità e dal tipo di informazioni che ogni giocatore possiede al momento della giocata si hanno così giochi ad informazione completa ed ad informazione incompleta.

• Giochi ad informazione completa: se in ogni momento si conosce con certezza la storia delle giocate precedenti, potendo così studiare le possibili azioni proprie e reazioni avversarie a partire da un punto certo.
• Giochi ad informazione incompleta: se contrariamente le giocate dell'avversario sono tenute segrete, come a briscola o a scopa ma in generale a qualsiasi gioco di carte, si parla di giochi ad informazione imperfetta o incompleta, sviluppata nel 1967.