Ipercubo - Tesina per liceo scientifico

Istituto “San Giuseppe”

Liceo Scientifico

Verona

Roberta Marini

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Tesina per l’esame di Stato

Anno Scolastico 2011/2012

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Mappa 2

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Indice

Introduzione da “The Cube” alla quarta dimensione p.

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Matematica

La quarta dimensione e il tetraspazio p.7

1. L’ipercubo e i suoi numeri p.9

2. Le rappresentazioni dell’ipercubo: come disegnarlo p.12

3.

Arte un Dalì mistico e scientifico nell’opera “Corpus Hypercubus” p.19

Conclusioni p.24

Bibliografia, sitografia e filmografia p.25 3

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Introduzione: da “The Cube” alla quarta dimensione

“L’ipercubo è soltanto un postulato teorico della fisica quantistica, ma se fosse invece già realtà?”.

Queste sono le parole con cui termina il film The Cube 2: Hypercube, che è ambientato nella quarta dimensione, più specificatamente in un ipercubo. Inizialmente l’ipercubo potrebbe apparire come un semplice, enorme cubo contenente al suo interno molti altri cubi più piccoli, collegati tra di loro con delle porte a sensore-sfioramento poste nel mezzo di ogni faccia. Ma dopo molte ipotesi, notando che le stanze, ossia i cubi, sono a velocità-tempo variabile, i protagonisti capiscono di trovarsi all’interno di un tesseratto: l’ipercubo a quattro dimensioni, in cui i sistemi di riferimento a tre dimensioni (lunghezza, larghezza e profondità) sono molteplici e quindi possono variare nel tempo e nello spazio, creando così una sorta di prigione piena di trappole.

La vicenda del film si sviluppa tutta all’interno di questo ipercubo, il quale sembra essere un posto dal quale non si può uscire, poiché ogni stanza-cubo appare uguale all’altra, le persone che vi si trovano sembrano non conoscersi e non avere nulla a che fare con quella reclusione. Nemmeno le loro competenze di tipo tecnico-scientifico sono in grado di far loro trovare una via d’uscita dal misterioso ipercubo dove andranno incontro alla morte. I protagonisti sono tutti inconsapevolmente legati tra loro poiché collaboratori della Izon, una società produttrice di armi.

Izon è riuscita a realizzare un prototipo di ipercubo dalle conseguenze spaventose e inimmaginabili. Per mantenere il segreto della progettazione, Izon mette all’interno dell’ipercubo tutti gli scienziati che avevano preso parte al progetto.

Osserviamo come il regista abbia saputo creare una scenografia che rende visibile, almeno in parte, un modello teorico e prettamente matematico, cioè non reale.

Nell’ipercubo ogni sottosistema ha le proprie regole gravitazionali ma anche temporali e dunque spaziali. Qui è davvero impossibile uscire o comunque comprendere il sistema, poiché in ogni cella le leggi cambiano, tutte senza eccezioni. L’unica certezza è che è ancora possibile percepire le mutazioni delle condizioni degli ambienti contigui. Le sei possibilità di uscita, date dalle sei porte al centro di ogni faccia del cubo-stanza, divengono sei possibilità di ingresso in nuove dimensioni per ogni porta, che è un vero e proprio buco nero che conduce a mondi paralleli, possibili ma non unici.

L’ipercubo e la quarta dimensione con le sue leggi fisiche sono utilizzate dal regista per creare nuovi tipi di “trappole” sconosciute ai protagonisti, così da ingannarli senza dare loro la possibilità di capire come scappare e come riuscire a difendersi. I personaggi si trovano in una realtà che non è la loro, in un sistema in cui non potranno mai essere i padroni delle leggi che lo governano né uscirne poiché fanno parte di un sottosistema infinitesimale. In effetti non sarebbe per noi concepibile far “vivere” un segmento all’interno del nostro mondo: esso rischierebbe la vita e non avrebbe mai la possibilità di uscire da un sistema superiore al suo, che è regolato da leggi diverse e impensabili per un essere appartenente al sottosistema. Così spiegava nel 1884 Edwin Abbott in Flatland, il racconto fantastico a più dimensioni: “… In una dimensione un Punto in movimento non generava una linea con due Punti terminali? In tre Dimensioni, un Quadrato in movimento non generava – e questo mio occhio non l’ha forse contemplato – quell’Essere benedetto, un Cubo, con otto punti terminali? E in Quattro Dimensioni, un Cubo in movimento non darà origine – ahimè per l’Analogia e ahimè per il Progresso della Verità se così non fosse! – non darà origine, dicevo, il movimento di un cubo divino, a un Organismo più divino con sedici punti terminali? E perciò non ne segue, necessariamente, che il rampollo più divino del divino Cubo nella Terra delle Quattro Dimensioni (“The divine Cube in the Land of Four Dimensions”) dovrà essere delimitato da otto Cubi: e non è anche questo, come il mio signore mi ha insegnato a credere, in stretto accordo con l’analogia?”.

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L’ipercubo: una mistica prigione matematica

non generava – e questo mio occhio non l’ha forse contemplato – quell’Essere benedetto, un Cubo, con otto punti terminali? E in Quattro Dimensioni, un Cubo in movimento non darà origine – ahimè per l’Analogia e ahimè per il Progresso della Verità se così non fosse! – non darà origine, dicevo, il movimento di un cubo divino, a un Organismo più divino con sedici punti terminali? E perciò non ne segue, necessariamente, che il rampollo più divino del divino Cubo nella Terra delle Quattro Dimensioni (“The divine Cube in the Land of Four Dimensions”) dovrà essere delimitato da otto Cubi: e non è anche questo, come il mio signore mi ha insegnato a credere, in stretto accordo con l’analogia?”.

Per capire l’ipercubo occorre descrivere il mondo in cui l’ipercubo vive: un mondo a quattro dimensioni.

Una serie di regole aiuta a spiegare in modo scientifico questa condizione.

Prima regola: Il tempo è la prima dimensione dello spazio. Infatti il tempo non è assolutamente una quarta dimensione dello spazio, ma è l’unico modo per descriverlo.

Da qui deriva che lo spazio è un intervallo percorribile e che quindi la sua minima dimensione è quella di una linea, di conseguenza il punto è ciò che non ha spazio né tempo.

Il tempo non solo è la prima dimensione dello spazio, ma è anche lo strumento fondamentale per comprendere mondi a meno dimensioni della terza e immaginare mondi a più dimensioni.

Inoltre, ogni sistema di riferimento inferiore è contenuto in uno superiore, da un sistema inferiore si ha proiezione di uno di livello superiore e ogni sistema di riferimento è valido al suo interno e ha uno spazio e un tempo autonomi.

Quindi nei diversi sistemi di riferimento a uno, due o tre dimensioni i tempi sono “diversi”. Per capire meglio il concetto si può prendere un foglio di carta e tracciare un segmento tra A e B chiamandolo t: esso è percorribile unicamente da un punto (zero dimensioni) oppure da una stessa linea (due dimensioni), che, per conoscere t, deve compiere il percorso da A a B in un certo tempo. Quindi t è conoscibile come intervallo temporale. Se si curva il foglio, si nota che la lunghezza t, anche se curva, non varia. Il percorso da A a B rimanendo nella seconda dimensione è sempre segnato dalla stessa linea, anche se è diventata una linea curva. Se si fanno toccare i punti A e B curvando totalmente il foglio, si nota che la lunghezza t è sempre la via migliore, in quanto il percorso più breve, in un sistema a due dimensioni; ma se si osserva quel percorso da un punto di vista tridimensionale si noterà che il modo più breve per andare da A e B non è il segmento curvo t, ma il percorso tracciato da un nuovo segmento r che collega i punti A e B compiendo un ideale salto, uscendo dal foglio, senza passare per t.

Osservando il tutto dalla terza dimensione, non solo si risolve diversamente il problema, ma quello che è evidente è che sono proprio i tempi ad essere diversi: r è molto più corto di t, quindi anche i tempi di percorrenza saranno molto diversi. Ecco dunque dimostrato che non vi è affatto uno spazio e un tempo assoluto: ciascun sistema è spazio-temporalmente autonomo e dipendente dal sistema di riferimento usato. La figura del salto è fondamentale per percepire un’altra dimensione, per comprendere e per vedere allo stesso tempo la propria. 5

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Per capire uno spazio a quattro dimensioni bisogna perciò aggiungere un’altra formulazione: In ogni sistema di livello superiore coesistono infiniti sistemi di riferimento di livello inferiore. Più semplicemente, in uno spazio a quattro dimensioni coesistono più sistemi di riferimento a tre. Così, se in uno spazio a tre dimensioni coesistono infiniti piani, nello spazio a quattro coesistono infiniti cubi!

In quattro dimensioni è possibile cambiare continuamente volume, cioè sistema di riferimento tridimensionale. La navigabilità di base di un mondo a quattro è quella che permette di saltare da un mondo a tre dimensioni a un altro mondo a tre, e questo “salto” non è solo spaziale, ma spazio-temporale.

Per concludere, i passaggi da un sistema spazio-temporale ad un altro non sono assoluti, ma ciascuno ha il proprio sistema interno, con proprie leggi che possono essere infrante solo da un livello superiore. Tutto ciò è in qualche modo dipendente anche dal corpo che percepisce, dato che uno spazio non è legato oggettivamente all’essenza delle cose, ma ad una caratteristica “fisica” degli uomini, i quali percepiscono e si muovono su tre dimensioni. Lo spazio a tre dimensioni è legato al limite fisico dell’uomo. Il limite è “oggettivo” perché l’uomo è, per sua natura, un sistema a tre dimensioni e non a quattro. Non è detto, peraltro, che un sistema a più dimensioni non possa esistere. 6

L’ipercubo: una mistica prigione matematica

Matematica

1. La quarta dimensione e il tetraspazio

La quarta dimensione è solita essere considerata come quel fattore che all’interno del sistema ortogonale (perpendicolare) tridimensionale permette l’evoluzione temporale di esse, quindi è comunemente interpretata come il tempo, il quale permette alle tre dimensioni di evolversi e cambiare in una situazione spazio-temporale. Invece più scientificamente è accettata la visione di quarta dimensione come q