Volatility smile e State Price Density: Un modello di trading in opzioni

Università degli Studi di Bergamo

Dipartimento di Scienze Aziendali

Corso di Laurea Magistrale in Management, Finanza e International Business – Classe n. LM-77 Scienze economico-aziendali

Volatility smile e state price density: un modello di trading in opzioni

Relatore: Chiar.mo Prof. Sebastiano Vitali

Tesi di Laurea Magistrale

Alessandro TALLO

Matricola n. 1070841

Anno accademico 2020 / 2021

Abstract

Nella realtà empirica, la volatilità implicita () delle opzioni di tipo europeo non è costante come ipotizzato dal modello di Black-Scholes. Infatti, fissando una scadenza e rappresentando su un grafico la in funzione dei prezzi di esercizio, si potrebbe osservare il caratteristico fenomeno dello smile di volatilità. Dato che per il pricing viene assegnata di fatto una volatilità diversa, ciò significa che il mercato quota un’aspettativa, circa l’andamento dell’attività implicita nel prezzo delle opzioni, sottostante in futuro. Benko et al. (2007) hanno sviluppato un modello di regressione semi-parametrico, perfezionato in seguito da Kopa et al. (2017), per estrarre le e stimare la cd. state price density (). Lo scopo del presente elaborato è dunque quello attraverso l’implementazione di di impostare un modello di trading incentrato sulle strategie in opzioni (straddle, strangle, butterfly e condor). Prendendo come campione di riferimento un dataset di opzioni europee scritte su cinque indici azionari (Dax 30, Euro Stoxx 50, Ftse Mib, Hang Seng e S&P 500), con due maturity (15 e 30 giorni) ed un orizzonte temporale di sette mesi (Dic. 2019 – Giu. 2020), verrà condotta un’analisi empirica sulle e configurato un modello previsionale tramite l’utilizzo di Microsoft Excel. Si procederà infine ad un confronto con una modalità di investimento tradizionale ai fini della valutazione della bontà e della portata applicativa del modello.

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Indice

Introduzione .................................................................................................................... 3

1. Capitolo I: Le opzioni .......................................................................................... 5

1.1 Definizione e tipologie .................................................................................. 5

1.2 I modelli di pricing ......................................................................................... 9

2. Capitolo II: La volatilità e le tecniche di stima ............................................... 13

2.1 La volatilità storica .................................................................................. 13

2.2 La volatilità implicita ................................................................................ 15

2.3 Gli smile di volatilità ................................................................................. 18

3. Capitolo III: Le strategie in opzioni ................................................................. 22

3.1 Trading direzionale .................................................................................... 23

3.2 Trading di volatilità .................................................................................. 27

4. Capitolo IV: Il modello teorico ......................................................................... 38

4.1 Stima della volatilità implicita e della state price density ...................... 38

4.2 Il procedimento e l’applicazione in Excel ............................................... 46

5. Capitolo V: L’analisi empirica ......................................................................... 52

5.1 La metodologia ............................................................................................ 52

5.2 Risultati empirici ......................................................................................... 57

5.3 Limiti dell’approccio ................................................................................... 83

Conclusioni .................................................................................................................... 86

Bibliografia .................................................................................................................... 88

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Introduzione

Le opzioni sono strumenti finanziari derivati che vengono negoziate da trader ed operatori di mercato con finalità speculative, di arbitraggio o di copertura. Dal momento che esse sono strutturalmente caratterizzate da un’elevata flessibilità operativa, sovente vengono preferite ad altre tipologie di prodotti finanziari meno versatili. Inoltre, le opzioni possono essere combinate al fine di implementare strategie più o meno aggressive in base al grado di avversione al rischio dell’investitore. Per poterle valutare opportunamente sono stati sviluppati diversi modelli di pricing; uno dei più diffusi è il modello di Black-Scholes (&). Nonostante sia stato introdotto più di quarant’anni fa, esso rappresenta tutt’ora lo standard di mercato per prezzare le opzioni di tipo europeo.

Tuttavia, evidenze empiriche dimostrano che le ipotesi di base del modello di B&S sono alquanto irrealistiche. La volatilità, uno dei parametri fondamentali per il pricing delle opzioni, non è infatti costante. Consapevoli di tali limiti intrinseci, i market maker quotano dunque tali strumenti assegnando volatilità implicite diverse a seconda del prezzo di esercizio considerato. Tale fenomeno determina il cosiddetto smile di volatilità (volatility smile), ormai molto evidente e frequente nei mercati finanziari.

Valutare le opzioni inserendo una volatilità implicita diversa da quella ipotizzata dal modello di & significa anche che il loro prezzo incorpora un’aspettativa circa l’andamento dell’attività sottostante in futuro. Nel 2007 è stata proposta una metodologia basata su un modello di regressione semi-parametrico, in seguito raffinata da altri autori, per far riemergere tali aspettative e stimare la cosiddetta state price density (). Così come l’esistenza degli smile di volatilità risponde all’ipotesi troppo restrittiva di una volatilità costante, similmente il concetto di SPD reagisce all'imposizione di normalità dei rendimenti dei sottostanti. Lo scopo del presente elaborato è dunque quello di analizzare empiricamente le volatilità implicite di un dataset di opzioni europee e costruire un modello previsionale incentrato sulle mediante l’implementazione di strategie in opzioni, con finalità esclusivamente di trading.

Poiché investire in opzioni implica alti rendimenti potenziali ma anche rischi concreti di incorrere in perdite rilevanti, non verrà presa in considerazione la prospettiva di un comune investitore retail, impossibilitato nel porre in essere operazioni estese, ma quella di un’istituzione finanziaria di grandi dimensioni che sia in grado di effettuare investimenti ingenti ed assumersi tutti i rischi conseguenti. Il campione è composto da opzioni scritte su cinque indici azionari, ovvero: Dax 30, Euro Stoxx 50, Ftse Mib, Hang Seng e Standard & Poor 500, su un periodo di riferimento di sette mesi, in particolare da dicembre 2019 a giugno 2020, e con due differenti scadenze di 15 e 30 giorni.

L’elaborato è stato suddiviso in cinque capitoli: nel primo verrà fornita una panoramica generale sulle opzioni finanziarie ed includerà le definizioni principali, le tipologie esistenti ed i modelli di pricing comunemente adottati dal mercato; il secondo verterà sulla volatilità, sulle sue tecniche di stima e, in modo ancor più dettagliato, sul fenomeno del volatility smile; il terzo riguarderà l’implementazione delle strategie in opzioni, sia direzionali, in versione rialzista o ribassista, che di alta o di bassa volatilità; nel quarto verrà presentato invece il modello teorico che è stato utilizzato per stimare le, volatilità implicite e le con la relativa applicazione nel software di calcolo Microsoft Excel; infine, il quinto ed ultimo capitolo tratterà la configurazione del modello di trading, i risultati derivanti dall’analisi empirica ed i limiti dell’approccio adottato.

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1. Capitolo I: Le opzioni

1.1 Definizione e tipologie

Le opzioni sono strumenti finanziari derivati che, nella loro versione più semplice o «plain vanilla», conferiscono al possessore il diritto, ma non l’obbligo, di acquistare (call) o vendere (put) il titolo sottostante (underlying asset) ad un prezzo predeterminato, chiamato «prezzo di esercizio» o «prezzo base» (strike price), entro una data definita detta «data di estinzione» o «data di scadenza» (time-to-maturity). La differenza fondamentale rispetto ad altri derivati, quali ad esempio forwards e futures, consiste nel “diritto di recesso” che il possessore dell’opzione vanta: egli, infatti, non è obbligato ad acquistare (o vendere) il sottostante alla scadenza, ma può farlo se esercitando l'opzione ne trae un’effettiva convenienza economica.

Tale caratteristica rende le opzioni molto versatili e flessibili, al contrario di altri prodotti finanziari presenti sul mercato. Il profilo di rischio non è quindi il medesimo per entrambe le parti del contratto e proprio per tale ragione tali strumenti sono anche chiamati «derivati asimmetrici». A causa dell’asimmetria tra i diritti e gli obblighi dell'acquirente e del venditore, l'acquisto di un’opzione richiede sempre l'esborso di una somma di denaro, cioè il «premio ¹». Chi acquista un’opzione pagherà tale somma e se in futuro le sue aspettative si realizzeranno potrà esercitare il suo diritto e rivalersi sul venditore, che sarà appunto obbligato a soddisfare la sua richiesta.

Dunque, un’opzione è a tutti gli effetti un contratto che viene stipulato tra due attori di mercato. Chi compra una call assumerà la posizione rialzista (long) mentre chi vende o “scrive” una call, incassando il premio, assumerà la posizione ribassista (short) e viceversa nel caso di una put (Hull, 2018).

Esistono due principali tipologie di opzioni plain vanilla: le «opzioni americane», che possono essere esercitate durante tutto il tempo intercorrente fino alla data di scadenza; e le «opzioni europee», che possono essere esercitate solamente alla scadenza. Nel caso di acquisto di opzioni, la massima perdita possibile sarà il premio pagato, ovviamente più le commissioni di negoziazione), mentre il guadagno è teoricamente illimitato; viceversa,

¹ Si vuole precisare che, nel caso di altri derivati finanziari (es. forwards e futures), il prezzo del contratto al momento della stipula è, a livello teorico, zero. Nelle opzioni invece si pagherà immediatamente (spot) il premio, che corrisponderà al loro valore di mercato.

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commissioni di negoziazione, mentre il guadagno è teoricamente illimitato; viceversa, nel caso di vendita di opzioni, il massimo guadagno sarà il premio incassato mentre la possibile perdita è potenzialmente illimitata. Ovviamente la convenienza o meno nell’esercitare l’opzione, alla scadenza o entro la scadenza, dipenderà dalla differenza tra il prezzo di esercizio () ed il valore effettivo finale dell’attività sottostante (). Proprio a seconda della relazione fra questi due valori le opzioni sono definite:

• In-the-money (ITM), cioè quando il detentore a scadenza avrebbe convenienza ad esercitare l'opzione;
• At-the-money (ATM), cioè quando il detentore è in una posizione indifferente;
• Out-of-the-money (OTM), cioè quando il detentore non avrebbe convenienza ad esercitarla.

Quindi, un’opzione call è ITM se il valore di mercato a scadenza del sottostante sarà maggiore dello strike price (> ), mentre è OTM nel caso opposto (< ). Un’opzione put, invece, è ITM quando il prezzo di esercizio è maggiore del valore finale del sottostante (> ), mentre è OTM nel caso contrario (> ). Infine, se il valore dell’underlying asset è uguale allo strike price (= ), sia l’opzione call che put sono ATM. Ovviamente l’unica opzione che darebbe un profitto se esercitata è quella in-the-money (genericamente le opzioni ATM ed OTM non vengono mai esercitate).

Il valore di questo profitto è il cosiddetto «valore intrinseco»; esso è pari al massimo tra zero ed il valore che l’opzione avrebbe se fosse esercitata immediatamente. ² Escludendo il costo iniziale pari al premio, per chi compra una call il valore finale (payoff) alla scadenza sarà quindi pari a max(–, 0) mentre per chi compra una put sarà uguale a max(–, 0). Le Figure 1.1 e 2.1 mostrano il payoff a scadenza rispettivamente di una long call e di una long put, in funzione del prezzo del sottostante. Nel caso di short call e short put, il profilo di rischio sarà esattamente opposto a quello rappresentato.

La differenza tra il valore di mercato dell’opzione ed il suo valore intrinseco è il cd. «valore temporale ³» (time value). Pertanto, il valore complessivo dell’opzione ovvero

² Si noti che le posizioni su opzioni sono in totale quattro: lunga su call, lunga su put, corta su call e corta su put. Il valore intrinseco nel caso di acquisto di opzioni è già stato esplicitato; nel caso di vendita di opzioni, invece, il payoff alla scadenza sarà: (–, 0) per chi ha venduto la call; mentre (–, 0) per chi ha venduto la put (Hull, 2018).

³ Ipotizziamo di avere in portafoglio un’opzione OTM con lunghissima scadenza; in questo caso il valore intrinseco sarebbe zero, tuttavia l’elevata maturity aumenta la probabilità che il derivato diventi ITM. Il “prezzo” di questa probabilità, che il compratore dell’opzione deve pagare, è proprio il valore temporale. Logicamente esso decresce all’avvicinarsi della scadenza ed aumenta all’aumentare della volatilità del titolo sottostante (Borsa Italiana, 2018).

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dell’opzione, ovvero il premio che l’acquirente dovrà pagare, è pari alla somma del valore intrinseco e del valore temporale. Se la prima componente è molto semplice da calcolare lo stesso non si può dire per la seconda. I modelli di pricing delle opzioni, che verranno brevemente introdotti nel prossimo paragrafo, cercano di determinare tale valore nel modo più preciso possibile, includendo al loro interno tutte le variabili che influenzano il prezzo di suddetti strumenti derivati (Borsa Italiana, 2018).

Le opzioni vengono negoziate sia exchange trade, quindi in mercati specializzati e regolamentati, che over the counter (OTC). ⁴ Esse vengono utilizzate dagli operatori finanziari con finalità sia speculative (trading) che di copertura (hedging) o arbitraggio. Tipicamente l’attività sottostante è rappresentata da azioni, indici azionari, valute, tassi di interesse, ETPs, merci e futures. La maggior parte delle negoziazioni di opzioni su azioni avviene in borsa, anche se il mercato OTC è di gran lunga più esteso.

Negli Stati Uniti i più importanti mercati regolamentati sono: il CBOE (Chicago Board Options Exchange), il NYSE Euronext, l’International Security Exchange ed il Boston Options Exchange. In Italia le opzioni sono negoziate principalmente sull’IDEM, il «Mercato Italiano dei Derivati», gestito da Borsa Italiana. Inoltre, anche per le opzioni, come per la maggior parte degli altri derivati finanziari, esistono controparti centralizzate. La Options Clearing Corporation (OCC) svolge per i mercati delle opzioni lo stesso ruolo che la clearing house ricopre per i mercati futures, ovvero garantire che i venditori di opzioni mantengano gli impegni presi.

Esistono anche regole che determinano l’ammontare dei depositi di garanzia, ovvero il sistema dei margini di mantenimento, con la particolarità che per le opzioni è solo chi assume la posizione corta (chi vende opzioni) che è obbligato a costituire il deposito. L’acquisto di opzioni non comporta infatti un obbligo futuro; pertanto, il deposito non sarà richiesto e la camera di compensazione si assicurerà unicamente della solvibilità di chi ha venduto opzioni, nell’eventualità dell’esercizio futuro del diritto previsto dal contratto (Hull, 2018).

⁴ Raramente vengono usate le semplici opzioni europee ed americane per finalità di hedging o di trading. Più sovente si usano opzioni dalla struttura complessa, dette «esotiche». Esse sono importanti in quanto, anche se spesso rappresentano una piccola parte del portafoglio dei derivative trader, consentono in genere margini di intermediazione molto più elevati dei prodotti plain vanilla. La categoria delle opzioni esotiche fa riferimento a tutti i contratti di opzione in cui il calcolo del payoff presenta elementi di novità rispetto alle opzioni ordinarie. Questi derivati vengono negoziati quasi esclusivamente OTC proprio a causa della mancanza di standardizzazione degli elementi contrattuali (Hull, 2018).

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Figura 1.1 – Payoff a scadenza di una long call.

Nota: I dati sono arbitrari; nel caso di una short call il grafico è speculare.

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