Tesina su Sistema di sollevamento con attuatore SMA

Alma Mater Studiorum - Università di Bologna

Dipartimento di ingegneria dell’energia elettrica e dell’informazione

Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione

Progetto di Controlli Automatici T-2

Sistema di sollevamento con attuatore SMA

Supervisori: Gruppo di lavoro:

Prof. Lorenzo Marconi Paolo Leonardo Gatti

Prof. Guido Carnevale Alessio De Fabritiis

Tutor Francesco Grimaldi Antonia Gennaro

Anno Accademico 2023-2024

Introduzione

In questa tesina verrà affrontato il progetto di un regolatore per il controllo di un sistema di sollevamento con attuatore SMA, applicando le nozioni acquisite durante i corsi di Controlli Automatici T-1 e Controlli Automatici T-2.

Verranno presentate diverse tipologie di risoluzione impiegando vari metodi di sintesi. Il primo passo consisterà nella modellizzazione matematica del sistema. Successivamente si passerà alla realizzazione di controllori operanti in retroazione; in particolare verranno progettati un sistema di controllo attraverso il metodo del luogo delle radici e due sistemi di controllo mediante lo studio in frequenza.

Infine, verrà implementato un sistema di controllo digitale. Tutte le fasi di progettazione verranno sostenute da considerazioni in merito all’andamento dei segnali nei vari sistemi di controllo lineari implementati su Simulink. Verrà poi realizzato uno schema Simulink del modello non lineare e valutata la robustezza del regolatore progettato per il sistema lineare a fronte di non linearità introdotte dal sistema.

Ogni diagramma utile nella comprensione della progettazione del sistema di controllo verrà inserito nella tesina, accompagnato dal rispettivo codice Matlab opportunamente commentato, in modo da poter comprendere velocemente la struttura e la funzione svolta. L’obiettivo sarà quello di realizzare passo dopo passo un controllore robusto e con performance ottimali.

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Indice:

Introduzione .............................................................................................................................. 2

Dinamica controllata ............................................................................................................ 5

1.1 Descrizione del sistema meccanico ................................................................................................5

1.2 Modello matematico del sistema ..................................................................................................6

1.2.1 Modellazione sottosistema meccanico ...........................................................................................6

1.2.2 Modellazione sottosistema elettrico ..............................................................................................8

1.2.3 Modellazione sottosistema termico ...............................................................................................9

1.2.4 Sistema nello spazio degli stati ................................................................................................... 10

1.2.5 Calcolo della coppia di equilibrio .............................................................................................. 11

1.2.6 Sistema linearizzato .................................................................................................................. 11

Introduzione al progetto ................................................................................................... 12

2.1 Specifiche di progetto .................................................................................................................. 12

2.2 Parametri del sistema .................................................................................................................. 13

2.3 Modello linearizzato del sistema su Matlab .............................................................................. 14

2.3.1 Calcolo della coppia di equilibrio .............................................................................................. 14

2.3.2 Sistema linearizzato .................................................................................................................. 14

2.3.3 Diagrammi di Bode del plant ..................................................................................................... 15

2.3.4 Separazione delle dinamiche ...................................................................................................... 16

2.3.5 Simulink del modello lineare ...................................................................................................... 17

Progetto del controllore ................................................................................................. 18

3.1 Progetto del regolatore mediante luogo delle radici ............................................................... 18

3.1.1 Primo tentativo ........................................................................................................................ 18

3.1.2 Secondo tentativo ..................................................................................................................... 20

3.1.3 Simulink del modello lineare ...................................................................................................... 27

3.2 Progetto del regolatore mediante tuning pratico ..................................................................... 28

3.2.1 Regolatore statico .................................................................................................................... 28

3.2.2 Tracciamento del Bode del sistema esteso .................................................................................... 28

3.2.3 Regolatore dinamico................................................................................................................. 30

3.2.4 Simulink del modello lineare ...................................................................................................... 37

3.3 Progetto del regolatore mediante formule di inversione .......................................................... 38

3.3.1 Regolatore statico .................................................................................................................... 38

3.3.2 Regolatore dinamico................................................................................................................. 40

3.3.3. Simulink del modello lineare ..................................................................................................... 54

3.3.4 Progetto della rete ritardatrice per cancellazione ......................................................................... 55

Implementazione del controllore digitale ................................................................ 65

4.1 Progetto per discretizzazione ..................................................................................................... 65

4.1.1 Realizzazione minima dei regolatori ........................................................................................... 65

4.1.2 Discretizzazione dei regolatori ................................................................................................... 66

4.2 Simulink del modello lineare con regolatori digitali ............................................................... 67

Simulink del modello non lineare ................................................................................... 69

5.1 Plant non lineare ........................................................................................................................ 69

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5.2 Sistema di controllo non lineare ................................................................................................ 70

5.2.1 Schema Simulink ...................................................................................................................... 70

5.2.2 Risposta al gradino di riferimento .............................................................................................. 70

Anti-windup ................................................................................................................................ 71

6.1 Circuito di anti-windup ............................................................................................................... 71

Conclusioni ............................................................................................................................... 73

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Capitolo 1

Dinamica controllata

1.1 Descrizione del sistema meccanico 1

Il sistema in oggetto utilizza un attuatore basato su Shape Memory Alloy (SMA) per controllare l’altezza di un carico. Una rappresentazione schematica del sistema viene fornita in Figura 1.1.

Figura 1.1: Rappresentazione schematica del sistema in considerazione.

In particolare, questo sistema è dato dall’interconnessione tra un sottosistema meccanico (responsabile della movimentazione del carico), un sottosistema termico (che descrive la temperatura al quale è sottoposto il filo SMA) ed un sottosistema elettrico (utilizzato per fornire calore al filo SMA via Effetto Joule).

1 Shape Memory Alloy: leghe a memoria metallica (es. intermetallo Ni-Ti, noto come Nitinol):

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Elementi costitutivi: T, I;

• Filo SMA a temperatura variabile riscaldato tramite la corrente in ingresso.
• Lo SMA si comporta come molla con rigidezza variabile ();
• Cella di Peltier a temperatura ;
• r r Puleggia con raggio interno e raggio esterno rapporto di riduzione ;2 = 1 2, 1m x.
• Carico di massa a quota.

Obiettivo di controllo: assegnare la tensione in ingresso in modo da portare il carico alla quota desiderata ()∗ .

1.2 Modello matematico del sistema

1.2.1 Modellazione sottosistema meccanico

In questa sottosezione, procediamo con la modellazione del sottosistema meccanico. A tal fine, andiamo a concentrarci prima sulle due pulegge. Nello schema di Figura 1.2, vediamo la forza dovuta allo SMA e la forza dovuta alla presenza del carico. Dunque, indicando con il F F J SMA m momento d’inerzia θ,ω r 2r 1 JFm Fsma

Figura 1.2: Forza applicate sulle pulegge.

del sistema rispetto all’asse passante nel centro delle pulegge e con la sua velocità angolare ω rispetto a questo asse, applichiamo la seconda legge di Newton rotazionale ottenendo:

−̇ () ( 1.1 ) 1()̇ = − ⇒ = 1 2 2

Dopo aver ottenuto l’espressione di , andiamo a considerare il carico di massa F m.m

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Figura 1.3: Forze applicate al carico.

Supponendo la presenza di un attrito viscoso con coefficiente ed indicando con β g l’accelerazione gravitazionale, applichiamo la seconda legge di Newton ottenendo ( 1.2 )1̈ = − − ̇ + = − − ̇ + − ̈ ( ) 222

Quindi, da (1.2), otteniamo ( 1.3 )1(� + � ̈ ) = − − ̇ + 22 2

Per concludere la modellazione del sistema meccanico, andiamo ad esprimere come FSMA ( 1.4 ) = (())∆dove rappresenta la costante di rigidezza dello SMA espressa in funzione della temperatura K(T) al quale è sottoposto al tempo mentre ∆x rappresenta la deformazione del filo SMA. La T(t) t, costante di rigidezza segue l’espressione K(T) 1 ( 1.5 )�1 ��()� = − ()− 1+ in cui , , e sono costanti che caratterizzano lo SMA. Per dettagliare invece la K T T c MAX avg diff deformazione ∆x del filo SMA, andiamo ad indicare con la massima lunghezza del filo l max assumendo che quando è in

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Figura 1.4: Deformazione filo SMA.

questa massima estensione il carico ha posizione verticale = 0 e che lo SMA è a riposo quando z il filo SMA ha una lunghezza (1 − , vedi Figura 1.4. Dunque, andiamo a riscrivere (1.4) δ)l max come ( 1.6 )1 = �()� � − ()� 2 che quindi ci permette di riscrivere (1.3) come ( 1.7 )1 1(� + � ̈ ) = − − ̇ + �()� � − ()�22 2 2

un potenziometro permette di misurare la rotazione della puleggia (lettura Sensore disponibile: della posizione x).

1.2.2 Modellazione sottosistema elettrico

Andiamo ora a modellare il sottosistema elettrico tramite il quale generiamo calore per Effetto Joule. Modelliamo il sistema tramite una tensione esterna applicata ad un’induttanza ed L () e una resistenza messe in serie, vedi Figura 1.5. Dunque, indicando con la corrente generata R () e nel circuito al tempo t,

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Figura 1.5: Schema elettrico.

la dinamica del sistema elettrico è ̇ ( 1.8 )( ) = − () + () In questo progetto supporremo l’assenza di fenomeni induttivi, quindi imponendo Le = 0 otteniamo: ( 1.9 )() = ()

1.2.3 Modellazione sottosistema termico

Per quanto riguardo la modellazione della dinamica della temperatura del filo SMA, T(t) andiamo a considerare i seguenti fenomeni:

• Effetto Joule: potenza termica in ingresso 2 () = ();
• Capacità termica filo SMA: C TH.
• Potenza termica dissipata per convezione con l’ambiente: () = ℎ(() − ), dove viene detto coefficiente di convezione, rappresenta la superficie di scambio tra il h S filo SMA e l’ambiente e la temperatura ambiente; T amb.
• Potenza termica dissipata con conduzione con cella di Peltier: ()− dove è la T() = p ℎ temperatura della cella di Peltier, mentre caratterizza la sua resistenza termica. RTH

Per rappresentare correttamente questi fenomeni consideriamo il circuito elettrico equivalente rappresentato in Figura 1.6. Dunque, la temperatura (equivalente alla tensione applicata ai T(t) capi del secondo

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1 ( )/ hS R TH( )q t Cc TH TT pamb

Figura 1.6: Circuito elettrico equivalente.

ramo) segue la dinamica ()− ̇ 2 ( 1.10 )() ) () = − ℎ(() − −ℎ ℎ

Avendo la relazione algebrica sostituiamo quest’ultima nell’equazione termica () = () ottenendo la dinamica: 2 ()− ()̇ ( 1. 11 )) () = − ℎ(() − −ℎ ℎ

1.2.4 Sistema nello spazio degli stati

Una volta ottenute le equazioni differenziali (1.7) e (1.11) possiamo rappresentare la dinamica 3 del sistema complessivo nello spazio degli stati. Per farlo andiamo a scegliere lo stato e ∈ ℝ l’input come segue ∈ ℝ 1 ∶= � � ∶= � �, = ()2 ̇3

Ora ricaviamo il modello del sistema nello spazio degli stati.

2 ()() ) − ℎ( − 1 1 ̇ = − −1 ℎ ℎ ℎ ℎ ̇ = 2 3 1 1 1())( ̇ = − − + ( − )3 3 1 2 � � � � � �2 2+ + +22 22 22

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1.2.5 Calcolo della coppia di equilibrio

Data un’altezza desiderata supponiamo ora di voler calcolare una coppia di equilibrio z ∈ ℝ, ⋆3 in cui appunto lo stato abbia la seconda componente vincolata a , z � , � ∈ ℝ × ℝ ⋆ ovvero 1,∗ ∶= � �3,

A partire da questa informazione e dalla definizione di coppia di equilibrio, troviamo l’intera e le rimanenti componenti , dello stato) del coppia di equilibrio (ovvero l’ingresso 1, 3, sistema ricavato precedentemente ponendo a 0 le derivate prime delle variabili di stato. I calcoli sono stati riportati direttamente su Matlab.

1.2.6 Sistema linearizzato

Andiamo ad