Tesi di laurea in Statistica - Il moto browniano: proprietà, principio di riflessione e limite continuo

Il Moto Browniano

Facoltà di Ingegneria dell’Informazione, Informatica e Statistica

Laurea in Statistica, Economia e Scienze Sociali

Giacomo Sancioni

Matricola 2156572

Relatore

Prof. Costantino Ricciuti

Anno Accademico 2025/2026

Il Moto Browniano

Tesi di Laurea. Sapienza Università di Roma

© 2026 Giacomo Sancioni. Tutti i diritti riservati

Questa tesi è stata composta con L TEX e la classe Sapthesis.

A

Email dell’autore: giacomo.sancioni@gmail.com ii

Indice

Introduzione 1

1 Proprietà delle traiettorie 3

1.1 La definizione formale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Continuità delle traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Non differenziabilità delle traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Variazione quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Il principio di riflessione - Distribuzioni notevoli 11

2.1 Distribuzione del massimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Il principio di riflessione - L’intuizione euristica . . . . . . . . 11

2.1.2 Distribuzione del tempo di primo passaggio . . . . . . . . . . 13

2.2 Moto Browniano in presenza di barriere assorbenti . . . . . . . . . . 14

2.3 Legge dell’arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Legame con l’irregolarità delle traiettorie . . . . . . . . . . . 21

3 Dal random walk al moto Browniano 22

3.1 Il random walk simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Dal discreto al continuo: l’equazione del calore . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Soluzione dell’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 La trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.2 Applicazione di Fourier all’equazione del calore . . . . . . . . 25

Conclusioni 27

Bibliografia 28

Ringraziamenti 29

1

Introduzione

Cenni storici Robert Brown,

Nell’estate del 1827 il botanico scozzese mentre osservava al

microscopio granuli di polline sospesi in acqua, notò che questi si muovevano in-

cessantemente, seguendo traiettorie irregolari e prive di una direzione preferenziale.

Brown, da naturalista, sospettò dapprima di aver individuato una qualche manifesta-

zione della "vita" nascosta nel polline; l’ipotesi cadde rapidamente quando osservò lo

stesso comportamento in particelle di natura indiscutibilmente inorganica (polvere

di vetro, di roccia, persino frammenti della Sfinge di Giza che aveva portato con sé

da un viaggio in Egitto). Il fenomeno, che da allora porta il suo nome, rimase per

decenni privo di una spiegazione soddisfacente.

Una svolta decisiva arrivò solo all’inizio del Novecento, e per due strade sorprenden-

Louis Bachelier,

temente indipendenti. Nel 1900 il matematico francese nella sua

tesi di dottorato Théorie de la spéculation, introdusse un modello probabilistico per

l’andamento dei prezzi di borsa che anticipava, con singolare precisione, la struttura

matematica che oggi viene chiamata moto Browniano; il suo lavoro, all’epoca sostan-

zialmente ignorato dalla comunità scientifica, sarebbe stato riscoperto solo decenni

più tardi e riconosciuto come l’atto di nascita della matematica finanziaria moderna.

Albert Einstein,

Fu però in uno dei quattro celebri articoli pubblicati nel 1905,

a fornire la prima spiegazione fisica rigorosa del fenomeno osservato da Brown.

Einstein mostrò che il moto irregolare delle particelle in sospensione poteva essere

spiegato come conseguenza degli urti incessanti con le molecole del fluido circostante,

animate a loro volta dall’agitazione termica prevista dalla teoria cinetica. Da

questa idea derivò una legge quantitativa per lo spostamento quadratico medio

della particella, proporzionale al tempo trascorso; la stessa relazione che, nella

t

trattazione probabilistica odierna, ritroviamo nella varianza della distribuzione di

Marian

B(t). Pochi mesi dopo, indipendentemente da Einstein, il fisico polacco

Smoluchowski giunse a conclusioni sostanzialmente equivalenti, al punto che la

relazione fondamentale è oggi nota come legge di Einstein–Smoluchowski.

Jean Perrin,

La verifica sperimentale di queste previsioni si deve al fisico francese

che tra il 1908 e il 1909 condusse una serie di esperimenti di straordinaria precisione,

misurando gli spostamenti di particelle colloidali e ricavandone una stima del numero

di Avogadro in notevole accordo con i valori noti da altre vie. Il lavoro di Perrin,

raccolto nel volume Les Atomes (1913), ebbe un peso storico che va ben oltre la

Indice 2

conferma di una singola legge fisica: pose fine, di fatto, a un secolo di dibattito

sulla realtà fisica degli atomi, convincendo anche gli ultimi scettici dell’esistenza di

una struttura discreta della materia. Per questo risultato Perrin ricevette il premio

Nobel per la fisica nel 1926.

Se il contributo di Einstein e Perrin riguarda la fisica del fenomeno, la sua formaliz-

zazione matematica richiese ancora del tempo. Fu solo nel 1923 che il matematico

Norbert Wiener

statunitense fornì la prima costruzione rigorosa, dal punto di

vista della teoria della misura, di un processo stocastico che soddisfacesse le proprietà

che oggi viene chiamato, non a caso, processo di Wiener. Negli anni e nei decenni

Paul Lévy

successivi, il matematico francese approfondì in maniera sistematica le

proprietà più fini delle traiettorie browniane ponendo le basi della teoria che sarà

oggetto dei capitoli seguenti.

A un anno dal bicentenario dell’osservazione di Brown, lo studio del moto Browniano

ha ormai superato i confini della piccola osservazione al microscopio da cui è nato. Nel

tempo è diventato uno degli strumenti di base del calcolo stocastico, con applicazioni

che vanno ben oltre il contesto originario. In finanza, l’intuizione di Bachelier è stata

ripresa e sviluppata nel celebre modello di Black, Scholes e Merton per la valutazione

delle opzioni, che è valso ai suoi autori il premio Nobel per l’economia nel 1997. In

biologia ed ecologia, processi di tipo browniano descrivono il movimento di cellule,

batteri e persino il comportamento di ricerca di alcune specie animali. In ingegneria

e nelle telecomunicazioni, lo stesso formalismo modella il rumore termico nei circuiti

elettronici. È proprio questa straordinaria versatilità, la capacità di un unico oggetto

matematico di descrivere fenomeni tanto distanti tra loro, a rendere lo studio delle

sue proprietà, a cui è dedicato il presente lavoro, tanto affascinante quanto utile.

Obiettivo della tesi contra-

Il moto Browniano combina due aspetti che a prima vista sembrerebbero in

sto: da un lato, traiettorie continue ma non derivabili in alcun punto, di variazione

infinita; dall’altro, una simmetria che, tramite il principio di riflessione, permette

di calcolarne esplicitamente diverse distribuzioni notevoli. Il filo conduttore di

irregolarità struttura

questo lavoro è proprio l’alternarsi tra questa e la che il

processo mantiene. Nell’ultimo capitolo si mostrerà infine che questa struttura non

è un’imposizione arbitraria della definizione assiomatica, ma emerge come limite di

un modello discreto elementare quale il random walk. 3

Capitolo 1

Proprietà delle traiettorie

1.1 La definizione formale {B(t), ≥

Definizione 1.1. B t

Un moto Browniano standard = 0} è un processo

{F ≥

, t

stocastico adattato alla filtrazione 0} che possiede le seguenti proprietà:

t

{B(0)

P

• = 0} = 1;

− F

B(t) B(s) t > s;

• è indipendente da , per

s

− ∼ N −

B(t) B(s) t s), t > s

• (0, per .

Ciascuno di tali proprietà ha una conseguenza ben precisa sul modello. La prima è

quella che indica l’origine del processo: immaginando un piano cartesiano, dove

t y,

le ascisse sono il tempo e le ordinate lo spazio il punto di partenza del moto

Browniano è l’origine (0, 0). incrementi

La seconda rappresenta forse la caratteristica più importante: gli futuri

del moto Browniano sono stocasticamente indipendenti dalla storia passata del

F

processo (rappresentata matematicamente dalla filtrazione ). Tale proprietà rende

s

il processo Markoviano, che a livello fisico comporta una "perdita di memoria" del

percorso effettuato da parte della particella; in ogni istante di tempo la sua evoluzione

B(t).

dipende solo ed esclusivamente dallo stato presente

s B(0)

Infine, dalla terza proprietà, ponendo = 0 e tenendo conto che = 0, segue che

( )

2

y

1

√

∼ N − ∈

densità

B(t) t), f , y

(0, la cui è (y) = exp R.

B(t) 2t

2πt

B(t)

La distribuzione di fornisce informazioni sul comportamento del processo a

traiettorie.

un istante fissato, ma non descrive la struttura delle singole È quindi

7→

t B(t).

naturale analizzare la regolarità delle funzioni

Esse presentano proprietà particolarmente peculiari, che distinguono il moto Brow-

niano dalle funzioni regolari studiate nell’analisi classica. In questo capitolo verranno

1.2 Continuità delle traiettorie 4

analizzate alcune delle loro proprietà fondamentali: la continuità, la non differenzia-

bilità e la variazione quadratica. Tali risultati metteranno in evidenza l’elevato grado

di irregolarità delle traiettorie e costituiranno la base per gli sviluppi successivi.

1.2 Continuità delle traiettorie

continuità

In primo luogo, occorre dimostrare la di tali traiettorie. Per fare ciò,

però, ci si appella al seguente teorema, del quale sarà esposto solamente l’enunciato

e omessa la dimostrazione.

Teorema 1.2 g g(h), q q(h)

(Kolmogorov). Siano = = due funzioni pari, monotone

h >

e non decrescenti per 0, tali che

∞ −n ∞,

P g(2 <

(i) )

n=1

∞ −n

n ∞,

P q(2 <

(ii) 2 )

n=1 ∈ {|X(t −

t, t h b), h > P h) X(t)| > g(h)} < q(h),

(iii) per ogni + (a, 0, +

{X(t), ≥

X t b)

allora il processo aleatorio = 0} possiede traiettorie continue in (a,

con probabilità uno.

Fatto questo, è finalmente possibile enunciare e dimostrare il seguente teorema.

Teorema 1.3. Il moto Browniano standard possiede traiettorie continue con

probabilità uno.

Dimostrazione. Per provare la tesi è sufficiente mostrare che il moto Browniano

soddisfa le tre condizioni del teorema precedente. Risulta comodo iniziare dalla (iii),

notando in primo luogo che

{|B(t − {|B(h)|

P h) B(t)| > g(h)} P > g(h)}

+ = |B(h)| g(h)

√ √

P >

= h h

g(h)

√

|Z|

P >

= h

g(h) g(h)

√ √

−

P Z< P Z >

= +

h h

g(h)

√

Z >

= 2P h ( )

2

∞ w

1

Z √ − dw.

=2 exp (1.1)

√ 2

2π

g(h)/ h |B(h)|,

In questi passaggi algebrici è stata sfruttata la standardizzazione di variabile

h.

aleatoria di media 0 e varianza

1.2 Continuità delle traiettorie 5

Si può ora osservare che ( (

) )

2 2

∞ ∞

w w

w

1

Z Z

√ √

− −

≤

dw dw

exp exp

2 2

x

2π 2π

x x ( )!

2

x

1

1 √ −

exp ; (1.2)

= x 2

2π w/x,

la disuguaglianza è vera perché il secondo membro viene moltiplicato per

≥

w x

che risulta maggiore o uguale a uno, in quanto (si guardino gli estremi di

integrazione).

Tornando alla probabilità iniziale, e unendo la (1.1) con la (1.2) (calcolata in

√

x g(h)/ h),

= si ottiene √ ( )

2

h g (h)

1

2 √ −

{|B(t − ≤

P h) B(t)| > g(h)} q(h).

exp

+ =

g(h) 2h

2π

L’ipotesi (iii) è così verificata e si può dunque passare alle (i). Per farlo è sufficiente

a

|h|

g(h) < a <

scegliere = , 0 1/2; in questo modo

∞ ∞

−n −n

X X a

|2 |

g(2 ) =

n=1 n=1

coincide alla serie geometrica, che converge quando il valore assoluto della ragione è

−n

|2 | <

minore di uno. In questo caso ciò è facilmente verificabile, infatti 1 per ogni

n. g(h) q(h), h >

A questo punto si può usare per riscrivere la funzione per 0,

)

( 2a−1

r h

2 1 −a −

q(h) h .

= exp

2

π 2

che risulta crescente. Per verificare, infine, che anche la condizione (ii) è soddisfatta,

si osserva che ∞ ∞ ( )

−n 2a−1

r 2 (2 )

1

( )

−n −a

X X n

n n −

q(2

2 ) = 2 2 exp (1.3)

2

π 2

n=1 n=1

∞ )

( n (1−2a)

r 2 (2 )

1

( )

n +a

X −

= 2 exp ;

2

π 2

n=1

la convergenza di tale serie è verificabile tramite il criterio del rapporto, secon-

+∞

P a a > /a <

do il quale una serie , con 0, converge se lim (a ) 1.

n n n→+∞ n+1 n

n=0

Applicando il criterio alla serie prima scritta (1.3), il limite che si ottiene è

1 n o

)

( (n+1)(1−2a)

(n+1) +a 2

−

2 exp

2 2

lim 12 n o

)

( n(1−2a)

n +a 2

n→+∞ −

2 exp 2

1.3 Non differenziabilità delle traiettorie 6

1

1 n(1−2a)

+a 1−2a

− −

= lim 2 exp [2 (2 1)] = 0

2 2

n→+∞

12

a < <

se . Poiché 0 1, la serie converge. Avendo verificato le tre ipotesi del teorema

1.2, il teorema sulla continuità 1.3 è dimostrato.

1.3 Non differenziabilità delle traiettorie

non differenziabilità

La delle traiettorie è una proprietà estremamente signifi-

cativa: quanto meno al tempo della sua scoperta risultava decisamente insolita,

ed è stata proprio una delle caratteristiche che ha reso importante lo studio di

questo processo. All’inizio dell’Ottocento si attribuiva alle curve continue una certa

regolarità, come se fossero "lisce"; matematicamente questo si traduceva nell’idea che

fossero tutte derivabili quasi ovunque. Tutto cambia quando, nel 1817, Bernhard

Bolzano costruisce per la prima volta una funzione continua non derivabile in un

insieme di punti denso; poi Karl Weierstrass, cinquantacinque anni dopo, indica un

esempio di funzione continua non derivabile in alcun punto. Un esempio di queste

curve, è dato proprio dalle traiettorie del moto Browniano.

Teorema 1.4. Le traiettorie del moto Browniano sono ovunque non differenziabili,

con probabilità uno. t,

Dimostrazione. Fissato un tempo arbitrario l’evento

−

B(t h, w) B(t, w)

+

∈

A w ,

= Ω : lim esiste finito

h

h→0 t.

è l’insieme delle traiettorie che sono derivabili nel punto Occorre quindi dimostrare

P

che tale evento è quasi impossibile, ovvero, in termini probabilistici, (A) = 0.

→

h

Se il limite esiste quando 0, allora deve esistere anche lungo qualsiasi successione

h

che tende a zero, in particolare per = 1/n. Il limite in tal caso diventa

n

1 −

B t B(t)

+ n .

lim 1

n→∞ n

Se questo limite è finito, il rapporto incrementale è necessariamente limitato, il che

r >

comporta l’esistenza di un 0 tale che la disuguaglianza

1 − B(t)

B t + n < r.

1

n

n

vale per tutti sufficientemente grandi. Quest’ultima condizione può essere riscritta

≥

m n m;

introducendo un indice tale che la proprietà valga per ogni tale indice ha

la funzione di soglia oltre la quale vale sempre la proprietà del limite. In simboli la

∀ ≥

m n m).

condizione è (∃ t.c. A, r

Affinché una traiettoria appartenga ad è necessario che esistano un valore di e

m

un indice per cui ciò accade, senza conoscere a priori tali valori. Si considerano

≥ ≥

r m

pertanto tutti gli 1 e tutti gli 1.

1.3 Non differenziabilità delle traiettorie 7

∃ ∀ ≥

r > m n m)

La condizione (∃ 0, t.c. si traduce, in linguaggio insiemistico, in

due unioni seguite da un’intersezione:

 

1 −

B t B(t, w)

+ n

 

[ [ \

⊂ ∈

A w <r .

Ω: 1

 

n

r≥1 m≥1 n≥m

Si osservi l’utilizzo del simbolo di inclusione, e non di uguaglianza, poiché la limi-

tatezza della successione dei rapporti incrementali lungo la particolare successione

h = 1/n è una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché il limite esista.

n

Ne consegue che ogni traiettoria derivabile appartiene all’insieme di destra, mentre

il viceversa non è in generale vero.

Poiché

   

1 1

−

B t , w B(t, w) B ,w

+ n n

   

P <r P < r

=

1 1

   

n n r

1

<

,w

P B

= n n

r r

1

−

P <B ,w <

= n n n √

√

( )

√

n r n

r 1

− <B ,w n<

P

= n n n

r

r

√ √

− < Z <

P