Statistica per l’economia e l’impresa - numeri indici

Per grandezza economica si intende una qualsiasi variabile che abbia rilevanza nella teoria

economica, es: la quantità, il prezzo unitario o il valore monetario di beni e servizi, il reddito percepito

da un individuo, le vendite o l’utile di un’impresa, aggregati economici (es. consumi, investimenti,

PIL).

Nb: non si confonda una grandezza economica con l'unità su cui essa è misurata → es:

un certo bene o servizio è un'unità di osservazione, mentre la sua quantità, prezzo

unitario o valore monetario sono grandezze economiche.

Serie storiche e numeri indici

Siano 0, 1, . . . , T alcuni istanti temporali (es: anni, trimestri, mesi) e sia X una grandezza economica

con misura al tempo t pari a x . Si definisce serie storica/serie temporale di X la successione delle

t

sue misure ordinate rispetto al tempo: x , x , . . . , x , . . . , x

0 1 t T

I numeri indici esprimono la variazione nel tempo delle grandezze economiche. Si distinguono in:

-numeri indici elementari: esprimono la variazione di una singola grandezza economica

-numeri indici sintetici: esprimono la variazione congiunta di un insieme di grandezze economiche

Numeri indici elementari

Sia X una grandezza economica con misurazioni strettamente positive (non negative e non nulle). Il

numero indice elementare per X tra il tempo s (tempo base) e il tempo t (tempo corrente) è:

→ descrive la variazione relativa di X tra i tempi s e t.

→ es i = 1.03 significa che la misura di X al tempo 5 è 1.03 volte quella al tempo 2.

2 5

Un numero indice elementare è sempre positivo e tale che (∀s,t):

= 1 ⇐⇒ x

i = x

s t t s

> 1 ⇐⇒ x

i > x

s t t s

< 1 ⇐⇒ x

0 < i < x

s t t s

I numeri indici elementari valgono 1 se non c'è stata variazione tra i due tempi

considerati → cioè sono riferiti all'unità e per questo vengono anche detti numeri indici

unitari.

I numeri indici elementari si possono anche esprimere in percentuale:

→ es i %= 103 significa che la misura di X al tempo 5 è il 103% di quella al tempo 2

2 5

Differenziali di variazione

Da un numero indice elementare è possibile ricavare il corrispondente differenziale di variazione:

- relativo:

- percentuale:

Es: x1 = 4, x2 = 6, x3 = 5

= 6/4 = 1.5 → (1.5 − 1) · 100% = +50%

i

1 2 = 5/6 = 0.83 =⇒ (0.83 − 1) · 100% = −17%

i

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Serie di numeri indici a base fissa

Data una serie storica: x , x … x … x per costruire una serie di numeri indici a base fissa, si sceglie

0 1 t T

un tempo base h e si divide ciascuna misura per la misura al tempo h

es serie storica: (x0, x1, x2, x3, x4) = (12, 14, 10, 15, 16)

Base tempo 0 (12/12, 14/12, 10/12, 15/12, 16/12) = (1, 1.17, 0.83, 1.25, 1.33), in percentuale: (100,

117, 83, 125, 133)

Base tempo 2 (12/10, 14/10, 10/10, 15/10, 16/10) = (1.2, 1.4, 1, 1.5, 1.6)

Utilizzo dei numeri indici a base fissa

Una serie di numeri indici a base fissa evidenzia la variazione rispetto al tempo fissato come base,

nonché permette di effettuare confronti tra grandezze economiche con scala diversa.

Si nota che: tra il 2010 e il 2017, gli arrivi turistici stranieri a Firenze sono aumentati più di quelli in

Toscana e in Italia; tra il 2008 e il 2019, gli arrivi a Firenze sono aumentati di circa il 46% e gli arrivi in

Italia sono aumentati di circa il 56%

Base interna alla serie storica

Se la base è interna alla serie storica, occorre prestare attenzione quando si interpretano

i numeri indici a tempi precedenti alla base. Al variare della base, le tre serie hanno la

stessa forma, tuttavia le loro scale sono diverse e quindi anche le loro posizioni relative

→ ad esempio, tra il 2008 e il 2015 gli arrivi a Firenze sono cresciuti, in particolare, per

Firenze i = 0.73, ovvero gli arrivi nel 2008 erano il 27% in meno di quelli del 2015 o,

2015 2008

equivalentemente, nel 2015 erano il 37% in più di quelli del 2008

Numeri indici a base mobile

Data una serie storica: x0, x1 … xt …xT per costruire una serie di numeri indici a base mobile si

divide ciascuna misura della serie storica per la precedente

→ il numero indice al primo tempo non è definito, perdi il primo dato

es: serie storica: (x0, x1, x2, x3, x4) = (12, 14, 10, 15, 16)

Serie dei numeri indici a base mobile: ( · , 14/12, 10/14, 15/10, 16/15) = ( · , 1.17, 0.71, 1.5, 1.07)

Utilizzo dei numeri indici a base mobile

I numeri indici a base fissa evidenziano l’andamento rispetto ad un tempo base, mentre i numeri

indici a base mobile mettono in risalto le variazioni da un tempo all’altro.

Nota: tra il 2009 e il 2010, gli arrivi turistici stranieri in Toscana e a Firenze registrano il picco

massimo quindi lì abbiamo la massima variazione; tra il 2011 e il 2012 e tra il 2015 e il 2016 gli arrivi

in Toscana e a Firenze non hanno subito variazioni (i numeri indici a base mobile nel 2012 e nel 2016

sono pari a 1)

Proprietà dei numeri indici elementari

1. Proporzionalità: un numero indice non cambia se le misure della grandezza variano

proporzionalmente (moltiplichi tutte per una costante positiva)

2. Reversibilità della base: il numero indice tra il tempo s e il tempo t è uguale al reciproco del

numero indice tra il tempo t e il tempo s:

3. Circolarità (o transitività): per qualunque tempo h, il numero indice tra il tempo s e il tempo t è pari

al prodotto tra il numero indice tra il tempo s e il tempo h e il numero indice tra il tempo h e il tempo t:

La proprietà di circolarità permette il cambio di base per via indiretta → puoi cambiare la

base di una serie di numeri indici a base fissa e convertire una serie a base fissa in una

serie a base mobile (o vice) sfruttando i numeri indici già calcolati

Da base fissa ad un’altra base fissa

Considera la serie di numeri indici a base tempo 0:

Si vuole cambiare la base dal tempo 0 al tempo 2

→ in gen vale → abbiamo → dividi ciascun termine della serie per il

i = i / i i = i / i

h t s t s h 2 t 0 t 0 2

termine al tempo 2

Da base fissa a base mobile

Considera la serie di numeri indici a base tempo 0

Si vuole ottenere la serie dei numeri indici a base mobile.

→ in gen vale → abbiamo → dividi ciascun termine della serie per

i = i / i i = i / i

h t s t s h t-1 t 0 t 0 t-1

quello precedente

(prima aveva 2 perchè volevamo una base fissa, ora abbiamo t-1 perchè la vogliamo a base mobile

quindi ogni volta prendiamo il precedente)

nb il risultato è lo stesso qualunque sia il tempo base

Da base mobile a base fissa

Considera serie di numeri indici a base mobile

Si vuole ottenere la serie dei numeri indici a base tempo 0 → cioè partendo da

Siccome in generale vale i = i · i , nello specifico si ha: i = i · i i = 1,

t−1 t−1

s t s h h t 0 t 0 t 0 0

si deve moltiplicare l’ultimo termine disponibile della serie a base tempo 0 per il termine della serie a

base mobile al tempo successivo.

→ la serie a base tempo 0 si ottiene tramite il prodotto cumulato (concatenamento) dei

numeri indici della serie a base mobile

es: da base mobile a base fissa

Considerando la stessa serie di numeri indici a base mobile

La serie dei numeri indici a base tempo 0 è

Si vuole ottenere la serie dei numeri indici a base tempo 3 → il concatenamento può

partire da qualsiasi tempo

→ puoi ottenere la serie a base tempo 0 concatenando i numeri indici della serie a base

mobile e poi cambiare base dividendo ciascun termine per quello al tempo 3

→ oppure posto i = 1, si concatenano i numeri indici per t > 3, mentre per t < 3 si procede

3 3

all’indietro sfruttando la relazione i = i / i , ovvero si divide l’ultimo termine disponibile della serie

3 t 3 t+1 t t+1

a base tempo 3 per il termine corrispondente della serie a base mobile

se vuoi andare all’indietro prendi numeri indice calcolato e dividere il termine sotto a base mobile

(tipo 1/1.4, quello che trovi diviso 1.2 ecc)

Numeri indici elementari delle quantità

Un numero indice elementare delle quantità (o di volume) di un bene o servizio è il rapporto tra la

quantità del bene o servizio al tempo considerato (tempo corrente) e la quantità del medesimo bene

o servizio ad un tempo di riferimento (tempo base) =

Es: quantità di latte prodotto nel 2000: q = 735 quintali e quantità di latte prodotto nel 2005: q

2000 2005

689 quintali → i = q / q = 689/735 = 0.94

2000 2005 2005 2000

quindi la quantità di latte prodotta nel 2005 è 0.94 volte quella del 2000, ovvero è diminuita del 6%

dal 2000 al 2005.

Numeri indici elementari dei prezzi

prezzo unitario = il prezzo per una singola unità di un certo bene o servizio (es 1 kg pane, 1 L latte,

un caffè …) (noi diciamo prezzo ma dovresti dire correttamente prezzo unitario specificando anche la

quantità, se uno ti dice 0.89 euro si ok è la spesa che hai fatto ma quanto hai comprato 1kg di pane?

100grammi? 0.89 al kg, oppure 1 per un caffe, 4 euro al kg ..)

numero indice elementare del prezzo di un bene o servizio= è il rapporto tra il prezzo unitario del

bene o servizio al tempo considerato (tempo corrente) e il prezzo unitario del medesimo bene o

servizio ad un tempo di riferimento (tempo base).

Es: prezzo di 1 litro di benzina verde nel 2000: p = 0.89€ e prezzo di 1 litro di benzina verde nel

2000

= 1.20€ →

2005: p i = p / p = 1.20/0.89 = 1.35

2005 2000 2005 2005 2000

→ il prezzo della benzina nel 2005 è 1.35 volte quello del 2000, cioè è aumentato del

35% dal 2000 al 2005.

Numeri indici sintetici

Panieri

paniere= un qualunque insieme di prodotti (beni e/o servizi), non voglio sapere singolarmente quanto

varia un bene ma una moltitudine di beni

Essendo un aggregazione, a differenza dei singoli beni e servizi che lo compongono, il prezzo

unitario di un paniere non ha un'unità di misura precisa e quindi non è direttamente misurabile. Per

quantificare la variazione del prezzo unitario di un paniere, è necessario aggregare la variazione del

prezzo unitario di ciascun prodotto che lo compone. A tale scopo, si utilizzano i numeri indici sintetici

dei prezzi (nb d’ora in poi il prezzo unitario di un bene, servizio o paniere verrà indicato solo col

termine ‘prezzo’)

Supponiamo di acquistare un paniere composto da 4 prodotti. Qual è la variazione dei prezzi di tale

paniere tra il tempo 0 e il tempo t?

Come quantificare la variazione nel complesso? La media aritmetica semplice dei numeri

indici dei prezzi ha poco senso in quanto assume che 1kg di pane conta quanto 1 etto di

carne e 1 caffe al bar → dai la stessa importanza a prodotti diversi che hanno unità di

misura diversi e utilizzi diversi

Supponiamo di aver speso 500 euro al tempo 0

Nota: S = p q sono i valori monetari (spesa) dei singoli prodotti.

0 0 0

→ consumo molta benzina e molta carne rispetto a caffe e pane → questi potrebbero

essere i pesi

Un modo per calcolare la variazione del prezzo del paniere dal tempo 0 al tempo t è dato dalla media

aritmetica dei numeri indici elementari dei prezzi pesata coi valori monetari (spesa) al tempo 0:

(1.027 · 50 + 1.088 ·