Elettrotecnica - Terza parte

Bipoli Elettrotecnica

3. Bipoli

Riprendiamo i due principi di Kirchhoff, che nel regime quasi stazionario collegano tra loro le

grandezze misurabili di un circuito:

i v

Σ = 0 per ogni superficie chiusa ; Σ = 0 per ogni percorso chiuso

In questo capitolo useremo i principi per descrivere i singoli componenti, cioè i e per ricavare

bipoli,

la loro legge costitutiva, il legame tra tensione e corrente ai morsetti.

3.1 Misurazione e convenzione sui segni di correnti e tensioni

Consideriamo una superficie chiusa (per esempio una sfera) attraversata da quattro correnti:

i i

1 3

+ +

+ +

i i

2 4

– Superficie chiusa attraversata da quattro correnti; il «+» indica la punta positiva dell’amperometro per

Figura 1 ciascuna misura.

Le frecce usate per indicare il verso delle correnti non rappresentano dei vettori, ma il modo in cui è

stato inserito l’amperometro per misurare l’intensità della corrente. Come il voltmetro, anche

l’amperometro ha due puntali, che vanno collegati sempre nello stesso modo, altrimenti si ottiene

per ogni

una misura di segno opposto: la punta della freccia indica il «positivo» dello strumento

corrente misurata. Applichiamo il principio alle correnti:

i i i i

+ − − = 0

1 2 3 4

Il segno «−» davanti alle ultime due intensità indica che la loro misura è stata fatta in verso opposto

i i

rispetto a e : se la corrente nella superficie è positiva, altrimenti è negativa. (È una scelta:

entra

1 2

nel capitolo precedente avevamo preso positive le correnti uscenti. Cambiando convenzione si

moltiplica l’equazione per −1, ma il risultato non cambia: conta usarne una sola in modo coerente.)

Lo stesso discorso vale per le È dato un percorso chiuso su cui si misurano cinque ddp:

tensioni. 1

Bipoli Elettrotecnica

v 3

v 2 B C v 4

A D

v E

1 v 5

– Percorso chiuso con cinque ddp; la freccia al centro indica il verso della circuitazione (concordi in

Figura 2 rosso, discordi in blu).

Le ddp sono positive se con il verso della circuitazione, altrimenti sono negative. Il verso

concordi

della circuitazione indica il modo in cui si usa il voltmetro; anche qui la punta della freccia indica il

«positivo» dello strumento, e per questo si mette un segno «−» davanti alle ddp che si oppongono

alla circuitazione (misurate «in verso opposto»). Il principio alle tensioni dà:

v v v v v

− + − − = 0

1 2 3 4 5

3.2 Bipoli

La regione materiale più semplice è il una regione accessibile tramite due superfici

bipolo:

equipotenziali, rappresentate da due A e B.

morsetti

i i

e u

regione

A B

materiale

superficie chiusa (esclude i morsetti)

– Bipolo: regione materiale con due morsetti. La superficie tratteggiata racchiude la regione ma non i

Figura 3 morsetti.

È rispettato: se scegliamo una superficie chiusa che racchiude la regione

Principio alle correnti.

• i i i i

ma non i morsetti, la corrente entrante è uguale a quella uscente , quindi − = 0.

e u e u

È rispettato: poiché i due morsetti sono equipotenziali, la somma

Principio alle tensioni.

• algebrica delle ddp misurate è nulla.

All’interno della regione ci sono uno o più parametri concentrati (resistenza, capacità o

• induttanza) e siamo in regime quasi stazionario.

All’esterno della regione (superfici equipotenziali) siamo in regime stazionario.

• 2

Bipoli Elettrotecnica

3.2.1 Resistore

Per scoprire la legge costitutiva del resistore partiamo dalle equazioni di campo, in particolare dalla

legge costitutiva del mezzo conduttore, in assenza di campo elettromotore nel mezzo: = ρJ.

E

NOTA · Perché serve un generatore

Un filo di rame preso da solo non è attraversato da corrente e non presenta ddp, perché non c’è un campo

elettromotore. In un circuito un campo elettromotore c’è, ma non si trova nella regione occupata dal

resistore: dentro il resistore c’è soltanto il campo elettrico che sposta le cariche.

Calcoliamo la ddp tra i morsetti A e B:

AB AB AB

v v

− = ∫ · dx = ∫ ρJ · dx = ∫ ρJ dx

E

A B

Il prodotto scalare si elimina perché il vettore è, per ipotesi, sempre perpendicolare alla sezione

J

trasversale e quindi parallelo a dx:

J J

S

A B

l

– Resistore cilindrico di lunghezza l e sezione S, attraversato dalla densità di corrente J.

Figura 4 i J

Se ha lo stesso valore (modulo, verso e direzione) su tutta la sezione, la corrente entrante è = ×

J

S, e l’integrale diventa: AB

v i

= ∫ ρ (i/S) dx = ρ (l/S)

l S R.

dove è la lunghezza del filo e la sua sezione. Il termine ρl/S è una costante, detta Si

resistenza

ottiene così la e l’unità di misura è l’ohm:

legge di Ohm,

v R i R l/S

= ; = ρ ; [R] = V/A = Ω

Solo per un resistore di geometria cilindrica la resistenza assume la forma ρl/S. L’inverso del