Derivate, ottimizzazione e applicazioni economiche

QUADERNO 02 / ECONOMIA L-33 APPUNTI DI STUDIO

QUADERNO 02 · MATEMATICA CORSO BASE · ECONOMIA POLITICA

Derivate, ottimizzazione

e applicazioni economiche

Dal tasso di variazione alla scelta ottima: metodo, condizioni e

controlli.

Obiettivo del quaderno

Passare dall’idea intuitiva di variazione marginale a un metodo affidabile per studiare funzioni

e risolvere problemi economici. Il punto centrale è distinguere il calcolo di una derivata dalla

dimostrazione che una scelta sia davvero ottima.

Il percorso

• Misurare. Rapporto incrementale, derivata, tangente e approssimazione locale.

• Interpretare. Costi, ricavi, profitto, produttività ed elasticità.

• Scegliere. Punti stazionari, estremi del dominio, vincoli e confronto dei valori.

Prerequisiti

Equazioni e disequazioni, potenze, logaritmi, dominio di una funzione e intervalli reali. Sono

richiamate le nozioni di limite e continuità necessarie per capire la derivata; non si

presuppone di avere già studiato tutti i teoremi dell’analisi.

Regola di lavoro. Prima scrivere che cosa si massimizza e dove si può scegliere. Solo dopo

derivare. Un risultato esterno al dominio non è una soluzione economica, anche se i passaggi

algebrici sono corretti.

Percorso di riferimento: laurea L-33 in Economia, interateneo Sapienza - Unitelma Sapienza. Piano di studi caricato:

Economia telematica 2027.

Materiale di studio autonomo, con spiegazioni ed esercizi originali. I riferimenti ai documenti di partenza sono

riportati alla fine del fascicolo.

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Indice e guida alla lettura

1. Funzioni, dominio e variazioni 3

2. Derivata, tangente e approssimazione 4

3. Regole di derivazione e domini 5

4. Monotonia, concavità ed estremi 6

5. Una procedura completa di ottimizzazione 7

6. Costi totali, medi e marginali 8

7. Massimizzare il profitto 9

8. Scelta vincolata del consumatore 10

9. Elasticità, produttività e sensibilità 11

10. Laboratorio di calcolo e scelta 12

11. Errori comuni e formulario ragionato 13

12. Fonti e collegamenti al programma 14

Come usare il quaderno

Prima leggere le definizioni e ricostruire gli esempi senza saltare i passaggi. Poi coprire le

soluzioni e ripetere gli esercizi. Infine usare il riepilogo per spiegare a voce il significato di ogni

formula, le sue ipotesi e un caso in cui non si può applicare.

Convenzioni

I dati numerici degli esempi sono ipotetici. Il punto e virgola separa le coordinate; la virgola indica i decimali. Le

formule usano parentesi per rendere esplicito l’ordine delle operazioni. Le pagine citate nelle fonti sono le pagine

del PDF, contando la copertina.

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1. Funzioni, dominio e variazioni

Una funzione f assegna a ogni x del suo dominio un unico valore f(x). In economia x può

rappresentare produzione, lavoro o prezzo; il valore della funzione può essere costo, ricavo o

utilità. Il dominio matematico è l’insieme su cui la formula è definita; il dominio

economico aggiunge le restrizioni del problema.

Per C(q) = 100 + 12q + q² la formula è definita per ogni reale, ma la produzione richiede

almeno q ≥ 0. Se la capacità è 30 unità, l’insieme ammissibile è [0,30]. In AC(q) = C(q)/q, il

costo medio è definito soltanto per q > 0. Lo zero è economicamente possibile come

produzione, ma non come denominatore del costo medio.

Dal livello alla variazione

Dato un incremento h ≠ 0, con x e x+h nel dominio, il rapporto incrementale è:

[f(x+h) - f(x)]/h

Esso misura la variazione media di f per unità di x nell’intervallo considerato. Per f(x) = x²,

sviluppando il quadrato si ottiene [(x+h)² - x²]/h = 2x+h. A x = 4 e h = 1 il rapporto vale 9;

con h = 0,1 vale 8,1; con h = -0,1 vale 7,9. Avvicinando h a zero da entrambi i lati ci si

avvicina a 8.

Limite e continuità: il minimo indispensabile

Dire che f(x) tende a L per x che tende a x₀ significa che f(x) può essere reso arbitrariamente

vicino a L prendendo x sufficientemente vicino a x₀, senza necessariamente porre x = x₀. La

funzione è continua in x₀ se il limite coincide con f(x₀).

La derivata nasce dal limite del rapporto incrementale, non dalla sostituzione h = 0 nel

rapporto, che darebbe una divisione per zero. Il limite permette di descrivere una variazione

locale pur usando incrementi sempre diversi da zero.

Unità. Se C è in euro al mese e q in unità al mese, ΔC/Δq e C′(q) sono costi per unità aggiuntiva. Il

costo totale e il costo marginale non sono numeri direttamente confrontabili senza considerare le

unità.

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2. Derivata, tangente e

approssimazione

Per un punto interno x₀, la derivata è definita quando esiste finito il limite:

f′(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h) - f(x₀)]/h

Geometricamente è la pendenza della tangente al grafico. Per f(x) = x² abbiamo f′(x) = 2x; nel

punto x₀ = 4 la tangente passa per (4;16) e ha pendenza 8.

y = f(x₀) + f′(x₀)(x - x₀) → y = 16 + 8(x - 4) f(x) = x²

(4; 16)

tangente: y = 8x - 16 x

Approssimazione lineare

Per h piccolo si usa f(x₀+h) ≈ f(x₀) + f′(x₀)h. Con x₀ = 4 e h = 0,1, il valore stimato di 4,1² è

16,8; quello esatto è 16,81. L’errore 0,01 coincide con h². In generale, la derivabilità

garantisce un errore che, diviso per h, tende a zero; non garantisce precisione per variazioni

grandi.

Quando la derivata non esiste

Per f(x) = |x|, in zero il rapporto incrementale vale -1 da sinistra e +1 da destra: i limiti non

coincidono. La funzione è continua, ma presenta uno spigolo. Dunque derivabilità implica

continuità, mentre la continuità non implica derivabilità.

Derivata all’estremo. In q = 0, se q ≥ 0, sono ammissibili solo incrementi verso destra. Una

derivata destra può descrivere il costo di avvio marginale, ma non autorizza a usare senza verifica

i teoremi per punti interni.

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3. Regole di derivazione e domini

Le regole seguenti valgono nei punti in cui le funzioni coinvolte sono derivabili e le espressioni

sono definite. Le costanti moltiplicative restano davanti alla derivata; una costante additiva

scompare.

Funzione Derivata Condizione essenziale