Appunti di Elettrotecnica - seconda parte

Dalle leggi di Maxwell al modello a parametri concentrati Elettrotecnica

2. Dalle leggi di Maxwell al modello a parametri

concentrati

Nella lezione precedente avevamo accennato alla necessità di convertire le grandezze delle

vettoriali

equazioni di Maxwell in grandezze così da costruire un modello più semplice da applicare ai

scalari,

circuiti. Le grandezze scalari che useremo sono due: l’intensità e la

di corrente differenza di

(ddp). Ripartiamo dalle prime due equazioni di Maxwell, quelle sui rotori dei campi

potenziale

elettrico e magnetico: ∇ × = − ∂B/∂t

E Faraday

∇ × = + ∂D/∂t

H J Ampère–Maxwell

2.1 Regime stazionario

Come può un campo elettrico essere conservativo in presenza di un campo magnetico? La risposta

sta nella dipendenza dal tempo: se è cioè costante nel tempo, la sua derivata

B stazionario,

temporale è nulla e il rotore di si annulla anche in presenza di un campo magnetico.

E

Analogamente, nella seconda equazione il rotore di è pari alla sola se anche è stazionario.

H J D

⇒

∂B/∂t = 0 = = costante

B(t) B

∇ ∇

× = 0 ; × =

E H J regime stazionario

Dalla prima equazione, per il teorema di Stokes, la circuitazione di lungo una linea chiusa è nulla:

E

∮ · dl = 0

E

Applicando invece la divergenza alla seconda equazione e ricordando che la divergenza di un rotore

è sempre nulla, si ottiene:

∇ ⇒ ∇

· (∇ × = 0 · = 0

H) J

Il campo di densità di corrente di conduzione è quindi non ha né sorgenti né pozzi, e

J solenoidale:

le sue linee di forza si richiudono su se stesse. Per il teorema della divergenza (di Gauss), il flusso di

S

attraverso una qualsiasi superficie chiusa è nullo: la corrente che entra è uguale a quella che esce.

J ∮ · dS = 0

J n

S

NOTA · Validità

Le due equazioni appena ricavate (circuitazione del campo elettrico nulla e divergenza nulla della densità

di corrente) valgono cioè quando le derivate temporali di campo elettrico e

solo in regime stazionario,

magnetico sono rigorosamente nulle. Il paragrafo 2.3 mostra fino a che punto si possono estendere.

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APPROFONDIMENTO · Conservazione della carica

∇ ∇

Che · = 0 sia sensato lo conferma la legge di continuità della carica, · = −∂ρ /∂t: se la

J J v

distribuzione di carica non cambia nel tempo, la carica non si accumula da nessuna parte e le linee di

corrente devono chiudersi.

2.2 Principi di Kirchhoff

I due risultati stazionari si possono riscrivere in termini di intensità di corrente e differenza di

potenziale. Ne nascono i due principi di Kirchhoff: il e il

principio alle tensioni principio alle

correnti.

2.2.1 Principio alle tensioni

∮

Partiamo da · dl = 0. Prendiamo un percorso chiuso λ in un mezzo dove agisce un campo

E n

elettrostatico in condizioni stazionarie e suddividiamolo in sottopercorsi λ , delimitati dai punti

E k

1, 2, 3, … Il percorso complessivo è l’unione dei sottopercorsi, e la circuitazione è la somma dei

contributi: λ λ

5 1

1 v = ddp misurata fra due nodi

k

5 2 consecutivi del percorso

λ

λ λ

4 2

4 3

λ 3

– Percorso chiuso λ suddiviso in sottopercorsi λ , delimitati dai punti 1, 2, 3, 4, 5.

Figura 1 k

k=1n k=1n

∪ ∮

λ = λ ; · dl = Σ ∫ · dl

E E

k λ λk

Se con un voltmetro misuriamo la ddp tra 1 e 2, tra 2 e 3, tra 3 e 4 e così via fino a chiudere il

v

percorso, e chiamiamo ciascuna lettura, risulta:

k k=1n k=1n v

Σ ∫ · dl = Σ = 0

E Kirchhoff tensioni

λk k

È fondamentale i puntali del voltmetro vanno spostati sempre in modo

fissare il verso di misura:

ordinato, seguendo il verso scelto per percorrere la linea chiusa.

NOTA · Principio alle tensioni

«Dato un campo elettrostatico stazionario, la somma delle ddp misurate su un qualsiasi percorso chiuso è

tensione ddp

nulla.» Per ora è più corretto parlare di principio alle ddp: e non indicano esattamente la

stessa cosa, perché il concetto di tensione si estende anche alle f.e.m. (forze elettromotrici). In sintesi, la

f.e.m. genera la tensione e i suoi effetti si misurano tramite le ddp lette col voltmetro.

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