Esercizio - Flessione + Tensoflessione + Taglio + Torsione

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA

PERUGIA, 28.06.2017

FONDAMENTI DI MECCANICA DELLE STRUTTURE

Tracciare i diagrammi delle tensioni normali e tangenziali. Verificare i punti P,Q e R con il criterio di Von Mises.

Sulla sezione agisce:

N=20 kN

M=20 kN m

T=20 kN

σ₀=400 MPa

Le misure in figura sono espresse in mm.

N = 20 kN = 20000 N

M = 20 kN m = 20 .10⁶ Nmm

T = 20 kN = 20000 N

sigma₀ = 400 MPa = 400 N/mm²

A₁ = 10 x 170 = 1700 mm²

A₂ = 100 x 20 = 2000 mm²

A₃ = 10 x 170 = 1700 mm²

A = A₁ + A₂ + A₃ = 5400 mm²

G₁ = (5; 85)

G₂ = (60; 60)

G₃ = (115; 85)

X_G = S_y'/A = (A₁ x'₁ + A₂ x'₂ + A₃ x'₃)/(A₁ + A₂ + A₃) = 60 mm

Y_G = S_x'/A = (A₁ y'₁ + A₂ y'₂ + A₃ y'₃)/(A₁ + A₂ + A₃) = 75.74 mm

I_x = (I_x1 + A₁ y'₁²) + (I_x2 + A₂ y'₂²) + (I_x3 + A₃ y'₃²) = 9.04 .10⁶ mm⁴

I_y = (I_y1 + A₁ x'₁²) + (I_y2 + A₂ x'₂²) + (I_y3 + A₃ x'₃²) = 1.20 .10⁷ mm⁴

I_x0 = A₁ x₁ y₁ + A₂ x₂ y₂ + A₃ x₃ y₃ = 0

Tg 2alpha = - 2.I_xy/(I_x-I_y) => alpha = 1/2 arcTg [ - 2I_xy/(I_x-I_y) ] =

I_y = I_x = 1.20 .10⁷ Nmm

I_v = I_x = 9.04 .10⁶ Nmm

R_y = sqrt(I/A) = 47.10 mm

R_x = sqrt(I_x/A) = 40.92 mm

FLESSIONE RETTA

σ = M_m / I_m · g (Navier o monomia)

Tg(β₁) · Tg(β_m) = - p²_x / p²_y => β_m = arctg [ - 1 / Tg(β₁) · p²_x / p²_m ]

M_m = |M| cos ψ = 20 · 10⁶ Nmm [ ψ = 0 ]

I_m = I_x = 9.04 · 10⁶ mm⁴

g_A = 94.26 mm

g_B = -75.74 mm

g_P = -55.74

g_Q = -25.74

g_E = 74.26

σ_A = M_m / I_m · g_A = 209.16 N/mm²

σ_B = M_m / I_m · g_B = -166.87 N/mm²

σ_P = -123.29 N/mm²

σ_Q = -56.94 N/mm²

σ_E = 164.25 N/mm²

TENSOFLESSIONE DEVIATA

e_y = 94.26

e_x = 60

c = 111.74

M = N·e = 20000·111.74 =

= 2.23 · 10⁶ N mm

x_m = PI / 2 - y_m = -25.66

σ = N / A + M_m / I_m · g

[ψ^s = -32.48°]

y_m = arctg [ - 1 / Tg(ψ) ] · l² / l′² = 64.34°

M_m = |M| cos ψ = 2.219 · 10⁶ N mm

ψ = 6.82°   21.80

I_m = I_x cos² x_m + I_y sin² x_m - 2 · I_xy cos x_m · sin x_m = 9.59 · 10⁶ mm⁴

g_A = - sin x_m · x_A + cos x_m · y_A = 110.95

g_B = -94.252

g_P = 76.226    g_Q = 10.210    g_R = -92.218

A = (60; 94.26)

B = (-60; -75.74)

σ_A = 3.704 + 25.66 = 29.364 N/mm²

σ_B = 3.704 - 21.80 = -18.096 N/mm²

σ_P = 3.704 - 17.63 = -13.926 N/mm²

σ_Q = 3.704 - 2.36 = 1.344 N/mm²

σ_R = 3.704 + 21.49 = 25.194 N/mm²

TAGLIO RETTO

T = _Tg . S_m / I_m . b

T_g = T = 20000 N

I_m = I_x = 9.04 · 10⁶ mm⁴

TRATTO 1-1

S_m = (10 . z) (94.26 - z/2) 0 ≤ z ≤ 110

b = 10 mm

T_1-1 = -0.001 z² + 0.208 z

TRATTO 2-2

S_m = (10 . z) (-75.74 + z/2) 0 ≤ z ≤ 60

b = 10 mm

T_2-2 = 0.001 z² - 0.168 z

TRATTO 3-3

S_m = (10 . 170) (94.26 - 85) + (20 . z) (60 - 75.74) 0 ≤ z ≤ 55

b = 20 mm

T_3-3 = -0.035 z + 1.74

TORSIONE

T = M_T / I_T * b

M_T = T * d = 20000 * 60 = 1.2 * 10⁶ N mm

I_T = 1/3 * 170 . 10³ + 1/3 * 100 . 20³ + 1/3 * 170 . 10³ = 380000 mm⁴

Tr1-1 = 31.58 N/mm²

Tr2-2 = 31.58 N/mm²

Tr3-3 = 63.16 N/mm²

σ_id = √(σ² + 3τ²) (VON MISES)

σ_id = √(σ² + 4τ²) (TRESCA)

σ_A = √(204.16 + 29.364)² + 3 . (0 + 31.58)² = 244.72 N/mm² < σ₀ = 400 N/mm²

τ_P = 165.93 N/mm²

σ_B = 124.06 N/mm² < σ₀ = 400 N/mm²

σ_R = 199.07 N/mm²

SEZIONE VERIFICATA