Esercizi svolti fondamenti di elettronica dei sistemi digitali, 2

∑

f (A, B, C ) = m(2,3,6,7)

2.2. Data la funzione , esplicitare i mintermini e scrivere la tabella di

verità.

A B C f

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 ≡ m = Ā BC̄

2 0 1 0 1 (A, )

f B, C = Ā BC̄ + Ā BC + A BC̄ + A BC

2

≡ m = Ā BC

3 0 1 1 1 3

4 1 0 0 0

5 1 0 1 0 ≡ m = A BC̄

6 1 1 0 1 6

≡ m = A BC

7 1 1 1 1 7

f (a, b, c) = a b + āc + a c̄

2.3. Data la funzione , esprimila nella 1° forma canonica di Shannon

per via algebrica.

f (a, b, c) = a b + āc + a c̄ a b c f

= a b(c + c̄) + ā(b + b̄)c + a(b + b̄)c̄ 0 0 0 0 0

1

= a bc + a b c̄ + ā bc + ā b̄c + a b c̄ + a b̄ c̄ 0 0 1 1

2 0 1 0 0

= a bc + a b c̄ + ā bc + ā b̄c + a b̄ c̄ 3 0 1 1 1

111 110 011 001 100 4 1 0 0 1

∑

f (a, b, c) = m(1,3,4,6,7) 5 1 0 1 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

f (A, B, C ) = Ā B + C

2.4. Data la funzione , esprimila nella 1° forma canonica di Shannon per

via algebrica. A B C f

f (A, B, C ) = Ā B + C 0 0 0 0 0

= Ā B(C + C̄ ) + (A + Ā)(B + B̄)C 1 0 0 1 1

= Ā BC + Ā BC̄ + A BC + A B̄C + Ā BC + Ā B̄C 2 0 1 0 1

= Ā BC + Ā BC̄ + A BC + A B̄C + Ā B̄C 3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

∑

f (A, B, C ) = m(1,2,3,5,7) 5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

∑

f (A, B, C ) = m(2,3,6,7)

2.5. Data la funzione , esprimila nella 2° forma canonica di

Shannon., esprimila nella 1° forma canonica di Shannon per via algebrica.

∑ ∏

f (A, B, C ) = m(2,3,6,7) = M(0,1,4,5)

∑

f (A, B, C ) = m(1,3,4,6,7)

2.6. Data la funzione , esplicitare i maxtermini, scrivere la tabella

di verità ed esprimere la funzione nella 2° forma canonica di Shannon.

A B C f

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 ≡ M = A + B + C

0

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1 ≡ M = A + B̄ + C

2

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1 ≡ M = Ā + B + C̄

5

7 1 1 1 1

∑ ∏

f (A, B, C ) = m(1,3,4,6,7) = M(0,2,5) = (A + B + C )(A + B̄ + C )( Ā + B + C̄ )

f (A, B, C ) = A B + ĀC + AC̄

2.7. Data la funzione , esprimila nella 2° forma canonica di

Shannon per via algebrica.

f (A, B, C ) = A B + ĀC + AC̄

= (A B + Ā)(A B + C ) + AC̄

[ ] [ ]

= (A B + Ā)(A B + C ) + A ′ (A B + Ā)(A B + C ) + C̄

[ ] [ ]

= (A B + Ā + A)(A B + C + A) ′ (A B + Ā + C̄ )(A B + C + C̄ )

⋅ ( Ā + A) = 1, (A B + 1) = 1 (C + C̄ ) = 1, (A B + 1) = 1

e e

[ ] [ ]

= (1) ′ (A + C ) ′ (A B + Ā + C̄ ) ′ (1)

[ ] [ ]

= (A + C ) ′ (A + Ā + C̄ )(B + Ā + C̄ )

⋅ ( Ā + A) = 1, ( C̄ + 1) = 1

e

= (A + C ) ′ ( Ā + B + C̄ )

⋅ (B)

aggiungo il termine mancante

= (A + C + B B̄) ′ ( Ā + B + C̄ )

= (A + B + C )(A + B̄ + C )( Ā + B + C̄ )

0 0 0 0 1 0 1 0 1

| |

∏

f (A, B, C ) = M(0,2,5)

f (A, B, C ) = Ā B + C

2.8. Data la funzione , esprimila nella 1° forma canonica di Shannon per

via algebrica.

f (A, B, C ) = A ′ (A + C̄ )

[ ] [ ]

= A + B B̄ + C C̄ A + B B̄ + C̄

[ ] [ ]

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= A + B + C A + B + C̄ A + B̄ + C A + B̄ + C̄ A + B + C̄ A + B̄ + C̄

( )( ) ( ) ( )

= A + B + C A + B + C̄ A + B̄ + C A + B̄ + C̄

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1

| | |

∏

f (A, B, C ) = M(0,1,2,3)

3. Postulati, teoremi e proprietà dell’algebra di Boole

∑

f (a, b, c) = m(1,3,5,7)

3.1. Minimizza utilizzando le mappe di Karnaugh (K-map)

b c 00 01 11 10

a 0 1 3 2

0 1 1 f (a, b, c) = c

4 5 7 6

1 1 1 ∑

f (a, b, c) = m(1,3,4,5,7)

3.2. Minimizza utilizzando le mappe di Karnaugh (K-map)

b c 00 01 11 10

a f (a, b, c) = a b̄ + c

0 1 1

1 1 1 1 ( ) ∑

f a, b, c, d = m(0,1,2,4,5,10,11,13,15)

3.3. Minimizza tramite K-map

cd 00 01 11 10

ab 0 1 3 2

00 1 1 1 ( ) ¯

f a, b, c, d = ā c̄ + ā b̄ d + a bd + a b̄c

4 5 7 6

01 1 1

12 13 15 14

11 1 1

8 9 11 10

10 1 1 ∑

(W, )

f X, Y, Z = m(0,2,4,5,6,7,8,10,13,15)

3.4. Minimizza tramite K-map

YZ 00 01 11 10

WX

00 1 1 (W, )

f X, Y, Z = X̄ Z̄ + W̄ X + X Z

01 1 1 1 1

11 1 1

10 1 1

( ) ∑

f a, b, c, d, e = m(0,1,3,7,8,10,13,19,23,24,26,29)

3.5. Minimizza tramite K-map

a b c d e

0 0 0 0 0 0 a=0

1 0 0 0 0 1 d e 00 01 11 10

2 0 0 0 1 0 bc

3 0 0 0 1 1 00 1 1 1

4 0 0 1 0 0

5 0 0 1 0 1 01 1

6 0 0 1 1 0

7 0 0 1 1 1 11 1

8 0 1 0 0 0

9 0 1 0 0 1 10 1 1

10 0 1 0 1 0

11 0 1 0 1 1 a=1

12 0 1 1 0 0 d e

13 0 1 1 0 1 00 01 11 10

bc

14 0 1 1 1 0

15 0 1 1 1 1 00 1

16 1 0 0 0 0 01

17 1

1 0 0 0 1

18 1 0 0 1 0 11 1

19 1 0 0 1 1

20 1 0 1 0 0 10 1 1

21 1 0 1 0 1

22 1 0 1 1 0 i colori uguali tra le due mappe evidenziano i raggruppamenti

23 1 0 1 1 1 ottenuti sfruttando la sovrapposizione dei due piani.

24 1 1 0 0 0 ( ) ¯ ¯

25 1 1 0 0 1 f a, b, c, d, e = ā b̄ c̄ d + b̄de + bc de