Esercizi svolti Analisi 1

Esercizi 16/08

2) STUDIO di FUNZIONE

f(x) = x² / (x² + x + y)

Dominio:

D = R

x² + x + y != 0

D = y - 4 < -3 -> non si annulla mai o soluzioni in R

2) Limiti e Asintoti

lim x -> -oo

x² / x² + x + y -> +oo F.I -> 2x / 2x + y -> -oo

se deriva di nuovo viene 2/3 ma e sbagli

tutto tra x

lim stessa cosa = 2

x -> +oo

ASINTOTO ORIZZONTALE IN y = y

OBLIQUI? NON HO ASINTOTO OBBLIQUO perche ho asintoto orizz. in y = 1

3) DERIVATA PRIMA

x² + x + y

2x(x² + x + y) - (2x + y)(x²)

(x² + x + y)²

2x³ + 2x² + 2x - 2x³ - x²

x² + 2x

x(x + 2)

studio il segno

N.

x - 2 > 0

x > 2

D.

sempre > 0 xk che (...)

f(x) crescente per x > 0 u x < -2

f(x) decrescente per -2 < x < 0

MAX in -2

MIN in 0

a) CONCAVITA' e FLESSI

f'' x² + 2x

(x² + x + 2)²

Denominatore:

x⁴ + x³ + x² + x³ + x² + x + x² + x + 2

x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 2

x² + 2x

x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 2

(2x + 2) · (x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 2) - (x² + 2x)(4x³ + 2 · 3x² + 2 · 2x + 2 + 2)

(4x³ + 6x² + 4x + 3)

(x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 2)²

2x⁵ + 4x⁴ + 4x³ + 4x² + 2x - (4x⁵ + 6x⁴ + 4x³ + 4x² + 3x² + 8x⁴ + 12x⁵ + 8x² + 6x)

ONESTAMENTE NON SO XCHE MI SONO MESSA A CALCOLARE TUTTA STA ROBA. MI SONO RESA CONTO ORA CHE :

x² + 2x

(x² + x - 2)²

-> (2x + 2)(x² + x - 2)²

Numeratore

-2x⁵-10x⁴-12x³-11x²-4x

x(-2x⁴-10x³-12x-11x-4)

Allora, Io ho

_x²+2x

(x²+x+1)²

x⁴+x³+x²+x³+x²+x+x²+x+1

x⁴+2x³+3x²+2x+1

(2x+2)(x⁴+2x³+3x²+2x+1) - 2(x²+x+1)

(x²+2x)

Denominatore sempre positivo

2x⁵+4x⁴+6x⁴+4x²+2x - (2(x⁴+2x³+x³+2x²+x²+2x

...4 ...3 ...3 ...2 ...2 ...

-2x - 4x - 2x - 4x - 4x - 4x

2x⁵ + 8x⁴ - 6x³ - 2x² - 2x

DEN > 0

2(x⁵ - ax⁴ - 3x³ - x² - x)

den > 0

2x(x⁴ - ax³ - 3x² - x - y) v

x² + 2x

(x² + x + 2)² -> (2x + 2)(x² + x - 2)² - (x² + 2x) 2(x² + x - 1)

(2x + 2)

2(x² + x + 2) o [(x + 2)(x² + x + 2) - (x² + 2x)(2x + 2)]

(x² + x + 2)⁴

2[(x + 2)(x² + x + 2) - (x² + 2x)(2x + 2)]

x² + x + 2

x³ + x² + x + x² + x + 2 = x³ + 2x² + 2x + 2

2x³ + x² + 4x² + 2x

2x³ + 5x² - 2x

x³ - 2x³ + 2x² - 5x² + 2x - 2x + 1 =

2(-x³ - 3x² + 2)

(x² + x + 2)³ positvo

-x³ - 3x² + 2 > 0

x³ + 3x² + 2 < 0

NON SO CALCOLARLO

(nella consegna non chiede f'')

GRAFICO

y+1

-2

-1

4/3

f(-2) = 4/(4-2+x) = 4/3

Es 2

y' = 2xy

y(0) = 3

e' a variabili separabili

mogenea associata

y' - 2xy = 0

-> dy/dx = 2xy

(dy/y) = (2x dx)

-> (1/y) dy = (2x dx)

ln|y| = x² + C -> e^ln|y| = e^x2 . (e^C) > M

y = e^x2 . M

soluzione particolare

y = u

che sommo

0 = 2x · u

-2x · u < 0

u = 0

y = 0 e una soluzione particolare

Applico la condizione

y(0) = 3

3 = e⁰² · M

3 = M

soluzione del problema di Cauchy

y = 3e^x2

Es 3

STUDIO DI FUNZIONE

xe^{-(x2 + x + 10)}

1) Dominio

vedo R, ma non sono sicura.

cambia se l'esponente e negativo?

(-∞, +∞)

2)

lim x→+∞ xe^-(x2+x+10) = 0

x→+∞

x→-∞

lim

x -> -infinity

x e^-(x² + x + 10) = + infinity

Asintoto orizzontale in y = 0

obliqui?

lim

x -> +infinity

(x e^-(x² + x + 10)) / x = 0 non ho asintoto obliquo

3) derivata f'

x e^-(x² + x + 10)

e^-(x² + x + 10) * -(2x + 1)

x * e^-(x² + x + 10)

1 * e^-(x² + x + 10) + x * (e^-(x² + x + 10) * -(2x + 1))

e^-(x² + x + 10) + -2x²e^-(x² + x + 10) - x e^-(x² + x + 10)

e^-(x² + x + 10)(1 - 2x² - x)

Monotonia

sempre positivo > 0

Studio

-2x² - x + 1 > 0

a < 0

+ 2x² + x - 2 < 0

= 0

D = 1 - 4(-2 - 2) =

1 + 8 = 9

x^1,2 = -1 + 3 / 4

2 / 4 = 1/2

-4 / 4 = -2

estremi

e negativo per

x < -2 v

x > 1/2

_f(x)

crescente -2 < x < 1/2

decrescente x < -2 v x > 1/2

-2 MINIMO RELATIVO

1/2 MASSIMO RELATIVO

→ NON FACCIO f'' perché l'esercizio non lo chiede

e temo mi esce una cosa assurda come prima

GRAFICO

y

x

-2

1/2

la calcolatrice mi segna 'e grafico piatto!

y>0