Esercizi di Principi e applicazioni dell'ingegneria elettrica

ESERCIZI SVOLTI

DI

ELETTROTECNICA

Prof. Ing. G. Acciani

Dott. Ing. G. Fornarelli

Dott. Ing. G. Brunetti

CAPITOLO 1

Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Esercizio n°1.1……………………………………………….pag. 2

Esercizio n°1.2……………………………………………….pag. 10

Esercizio n°1.3……………………………………………….pag. 12

Esercizio n°1.4……………………………………………….pag. 14

Esercizio n°1.5……………………………………………….pag. 15

Esercizio n°1.6……………………………………………….pag. 16

Esercizio n°1.7……………………………………………….pag. 18

Esercizio n°1.8……………………………………………….pag. 23

Esercizio n°1.9……………………………………………….pag. 25

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Esercizio n°1.1

Scrivere tutte le possibili leggi di Kirchhoff delle correnti per il circuito indicato in figura,

fissando due diversi sistemi di riferimento. b

a c

e

f d

E’ possibile enunciare la LKC in diversi modi equivalenti. Un primo modo di enunciare la

legge è il seguente:

La somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è istante per istante nulla:

∑ ± =

i (

t ) 0

k

k

dove il segno + vale per le correnti entranti e il segno – per quelle uscenti dal nodo.

• Si fissi il sistema di riferimento per le correnti indicato in figura:

b

a i c

i 5

1

i i

i

2 7

4 i

i 6

3 e

f d

Scriviamo la L.K.C. per ciascun nodo:

+ =

nodo a: i i 0

1 2

+ + =

nodo b: i i i 0

1 4 5

2 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

+ =

nodo c: i i 0

5 7

− =

nodo d: i i 0

6 7

− − =

nodo e: 0

i i i

4 3 6

− =

nodo f: i i 0

3 2

Cambiando di segno tutti i termini delle equazioni otteniamo le L.K.C. nella seconda

formulazione:

La somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è istante per istante nulla:

∑ ± =

i (

t ) 0

k

k

dove il segno + vale per le correnti uscenti e il segno – per quelle entranti nel nodo.

A partire dalle equazioni scritte, portando a secondo membro le correnti uscenti dal nodo

(quelle di segno negativo) otteniamo le LKC nella terza formulazione:

La somma delle correnti in ingresso deve essere uguale istante per istante alla somma delle

correnti in uscita

• Si fissi un secondo sistema di riferimento: b

a i c

i 5

1

i i

i

2 7

4 i

i 6

3 e d

f

Scriviamo la LKC in ciascun nodo utilizzando la prima formulazione della legge:

− =

nodo a: i i 0

2 1 3

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

− − =

nodo b: i i i 0

1 4 5

− =

nodo c: i i 0

5 7

+ =

nodo d: 0

i i

6 7

+ − =

nodo e: i i i 0

4 3 6

− − =

nodo f: i i 0

3 2

Stesse considerazioni per quanto riguarda le altre possibili formulazioni della LKC.

Torniamo al primo sistema di riferimento che abbiamo fissato per le correnti e costruiamo il

grafo orientato associato al circuito, ottenuto sostituendo a ciascun bipolo un segmento

orientato il cui verso coincide con quello della corrente fissata nel bipolo corrispondente:

b 5

a c

1

2 7

4 6

3 e d

f

Si possono riscrivere le L.K.C. direttamente sulla base del grafo, a conferma che si tratta

di leggi che dipendono non dal tipo di componenti ma da come questi sono interconessi

tra loro, cioè dalla topologia del circuito.

+ =

nodo a: i i 0

1 2

+ + =

nodo b: i i i 0

1 4 5

+ =

nodo c: i i 0

5 7

− =

nodo d: 0

i i

6 7

− − =

nodo e: i i i 0

4 3 6

4 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

− =

nodo f: i i 0

3 2

Si può verificare che queste equazioni di equilibrio non sono linearmente indipendenti,

infatti sommandole membro a membro si ottiene la seguente equazione:

+ + = + + =

i i i i i i

2 2 2 0

1 4 5 1 4 5

che è la L.K.C. al nodo b. In altre parole possiamo dire che l’equazione di equilibrio al

nodo b è combinazione lineare delle equazioni agli altri nodi.

In effetti un importante teorema afferma quanto segue:

Dato un circuito a cui sia associato un grafo connesso con n nodi e b lati, il numero delle

equazioni di equilibrio delle correnti fra loro indipendenti è pari a n-1

Nel nostro caso abbiamo = 6, per cui sono 5 le equazioni di equilibrio delle correnti

n

linearmente indipendenti. Queste si ottengono facendo riferimento agli insiemi di taglio

fondamentali, che sono insiemi di taglio costituiti da un solo ramo di albero e da corde.

Scegliamo dunque un albero per il nostro grafo (subgrafo connesso contenente tutti i nodi

del grafo di partenza e non contenente maglie):

b 5

a c

1

2 7

4 6

3 e

f d

dove abbiamo tratteggiato le corde del coalbero.

Individuiamo gli insiemi di taglio fondamentali utilizzando le superfici gaussiane: queste

devono tagliare i lati del grafo una volta sola e tali lati devono essere costituiti da un solo

ramo di albero e da corde (quindi se ne possono individuare n-1, pari al numero dei rami

dell’albero): Σ Σ Σ

Σ Σ

2 4 5

1 3

b 5

a c

1

2 7

4 6

3 e

f d 5

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Gli insiemi di taglio fondamentali sono quindi dati da:

{1,2} {1,3} {1,4,5} {5,6} {5,7}

Per ricavare le equazioni di equilibrio delle correnti linearmente indipendenti, andiamo ad

applicare la L.K.C. alle superfici gaussiane che individuano i cinque insiemi di taglio

fondamentali. Infatti un altro modo più generale di esprimere la LKC consiste nel definire

una superficie gaussiana (superficie chiusa) ed una convenzione per le correnti:

La somma algebrica di tutte le correnti che fuoriescono dalla (o entrano nella) superficie

gaussiana è istante per istante nulla

Considerando positive le correnti entranti e negative quelle uscenti dalla superficie

gaussiana, possiamo scrivere le seguenti L.K.C.:

Σ + =

superficie : i i 0

1 1 2

Σ + =

superficie : i i 0

2 1 3

Σ − − − = ⇒ + + =

superficie i i i 0 i i i 0

3 1 4 5 1 4 5

Σ + =

superficie i i 0

4 5 6

+ =

Σ

superficie i i 0

5 5 7

Ripetiamo il procedimento visto scegliendo un altro albero: Σ

Σ 4

2 b5

a c

1

2 7

4

Σ Σ

1 5

6

3 e

f d

Σ 3

6 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

Gli insiemi di taglio fondamentali sono dati da:

{2,3} {1,3} {3,4,6} {5,6} {6,7}

Scriviamo ora le L.K.C. alle superfici gaussiane che individuano gli insiemi di taglio

fondamentali: − =

Σ :

superficie i i 0

1 3 2

Σ + =

superficie : i i 0

2 1 3

Σ − − =

superficie i i i 0

3 4 3 6

+ =

Σ

superficie i i 0

4 5 6

Σ − =

superficie i i 0

5 6 7

Otteniamo un altro sistema di equazioni di equilibrio equivalente al primo. Se infatti

realizziamo le seguenti sostituzioni:

Σ − = ⇒ + =

superficie : i i 0 i i 0

1 3 2 1 2

+ = ⇒ = − ⇒ + =

Σ :

superficie i i 0 i i i i 0

2 1 3 1 3 1 3

Σ − − = ⇒ + + =

superficie i i i 0 i i i 0

3 4 3 6 4 1 5

Σ + = ⇒ = − ⇒ + =

superficie i i 0 i i i i 0

4 5 6 5 6 5 6

− = ⇒ + =

Σ

superficie i i 0 i i 0

5 6 7 5 7

otteniamo nuovamente il sistema di equazioni trovato con il primo albero che abbiamo

scelto. Quanto detto vale per tutti gli alberi che si possono individuare nel grafo associato

al circuito: i corrispondenti sistemi di equazioni di equilibrio delle correnti sono tutti

equivalenti tra loro. 7

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Si può infine controllare che per il circuito nella figura in basso le equazioni di equilibrio ai

nodi coincidono con quelle ottenute per una particolare scelta dell’albero.

b

a i c

i 2

1

i i

i

3 5

4

d

Scriviamo le LKC ai nodi:

+ =

nodo a: 0

i i

1 3

+ + =

nodo b: i i i 0

1 2 4

+ =

nodo c: i i 0

5 2

− − =

nodo d: i i i 0

4 3 5

Disegnamo il grafo del circuito e scegliamo un albero: b 2

a c

1

b 2

a c

1 4 4 Σ

Σ 2

1

3 5 3 5

d d

Σ

3

8 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

Gli insiemi di taglio fondamentali sono dati da:

{1,3} {2,5} {1,2,4}

Scriviamo ora le L.K.C. alle superfici gaussiane che individuano gli insiemi di taglio

fondamentali: + =

Σ :

superficie i i 0

1 1 3

Σ + =

superficie : i i 0

2 5 2

Σ ⇒

− − − = + + =

superficie i i i 0 i i i 0

3 1 2 4 1 2 4 9

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Esercizio n°1.2

Scrivere tutte le possibili LKC per il circuito in figura considerando due diverse convenzioni

per le LKC. a b

c d

e

Si fissi un sistema di riferimento per le correnti:

a b

i i

1 3

i

i

2 4 i

5

c d

i

6

i

7

e

Assumiamo la convenzione secondo cui sono positive le correnti entranti nei nodi,

negative quelle uscenti. Otteniamo il seguente sistema di equazioni (la somma algebrica

delle correnti entranti in un nodo è istante per istante nulla):

− =

nodo a: i i 0

2 1

− − =

nodo b: i i i 0

1 4 3

+ − =

nodo c: i i i 0 (*)

4 5 6

+ − =

nodo d: i i i 0

3 7 5

− − =

nodo e: 0

i i i

6 2 7

10 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

Assumiamo ora la convenzione secondo cui sono positive le correnti uscenti dal nodo e

negative quelle entranti (la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è istante per

istante nulla). Otteniamo il seguente sistema di equazioni:

− + =

nodo a: i i 0

2 1

− + + =

nodo b: i i i 0

1 4 3

− − + =

nodo c: 0

i i i (**)

4 5 6

− − + =

nodo d: i i i 0

3 7 5

− + + =

nodo e: 0

i i i

6 2 7

Il sistema (**) può essere ottenuto dal sistema (*) moltiplicando ogni equazione per -1. I

due sistemi sono quindi equivalenti, cioè ammettono la stessa soluzione. Ciò è necessario

in quanto i due sistemi descrivono lo stesso circuito con lo stesso sistema di riferimento

delle correnti (è cambiata la convenzione sui segni delle correnti ma non il sistema di

riferimento). 11

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Esercizio n°1.3 = .

Dato il circuito in figura, dimostrare che è i i

a b 1

i

a

N 2 3

i

b 4

Fissiamo un sistema di riferimento per le correnti: 1

i

a i

2

i

1

N i

2 3

3 i

4

i

b i

5

4

Scriviamo la LKC in corrispondenza di ciascun nodo assumendo positive le correnti

uscenti da un nodo (la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è istante per

istante nulla). − + + =

nodo 1: i i i 0

a 1 2

12 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

− + − =

nodo 2: i i i 0

1 3 4

− − + =

nodo 3: i i i 0

2 3 5

+ − =

nodo 4: 0

i i i

b 4 5

Sommando membro a membro le equazioni del sistema si ha:

⇒ =

− + =

i i i i

0

a b a b

Un altro modo più generale di esprimere la LKC consiste nel definire una superficie

gaussiana (superficie chiusa) ed una convenzione per le correnti:

La somma algebrica di tutte le correnti che fuoriescono dalla (o entrano nella) superficie

gaussiana è istante per istante nulla

Fissiamo una superficie gaussiana come quella indicata in figura e assumiamo come

positive le correnti entranti nella superficie: 1

i

a i

2

i

1

N i

2 3

3 i

4

i

b i

5

4 Σ

Le sole correnti che attraversano le gaussiana sono e per cui possiamo scrivere

i i

a b Σ

con la convenzione delle correnti positive entranti nella superficie :

− = ⇒ =

i i 0 i i

a b a b 13

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Esercizio n°1.4

Dato il circuito in figura, ricavare le correnti e .

i i

1 2

a b

i 2

i i = 4 A

3 3

i = 1 A

i

c e

i 4

5

4 d

i i = 3 A

1 5

f

Con il fissato sistema di riferimento per le correnti, scriviamo le LKC nei nodi a e d

(occorrono due equazioni ):

+ =

nodo a: i i i

2 5 3

+ + =

nodo d: i i i i

4 5 2 1

Si tratta di un sistema di due equazioni nelle due incognite e , che possiamo risolvere

i i

1 2

col metodo di sostituzione:

+ =

i 3 4

2 = =

⇒ ,

i 1 i 5

A A

2 1

+ + =

1 3 i i

2 1

14 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

Esercizio n°1.5

Dato il circuito in figura, ricavare la corrente i.

i A i = 1A

A

i = 3A

B

i B i

Applicando la LKC all’unico nodo presente otteniamo:

⇒

− − = = − = − = −

i i i 0 i i i 1 3 2 A

A B A B 15

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Esercizio n°1.6

Dato il circuito in figura: 2

1 B

A C 3

D E

4

scrivere tutte le possibili LKT, avendo fissato un sistema di riferimento per le tensioni di

lato e il verso di percorrenza delle maglie.

Successivamente si valutino le tensioni e , nel caso in cui = 2V, = 5V, = 4V.

v v v v v

B E A C D

Fissiamo un sistema di riferimento per le tensioni di lato come indicato in figura:

2

1 B

A C 3

D E

4

e disegnamo le diverse maglie che si possono individuare nel circuito, per ciascuna delle

quali fissiamo arbitrariamente un verso di percorrenza:

16 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

1 2

1 2 B

B 3

A C

A C D E

3

3 E

D 4

4

4

maglia 1 maglia 2 maglia 3

Scriviamo la LKT per ciascuna maglia (la somma algebrica delle tensioni di lato è nulla istante

per istante): =

− − − +

maglia 1: 0

v v v v

A B C D

− + + =

maglia 2: v v v v 0

A E C B

− =

maglia 3: v v 0

D E

A questo punto sostituiamo i valori delle tensioni date per ricavare quelli delle tensioni

incognite: − − − + =

2 v 5 4 0

B = −

v 3

V

B

− + + = ⇒

2 v 5 v 0

E B =

v 4

V

E

− =

4 v 0

E 17

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Esercizio n°1.7

Dato il circuito in figura: 6 1

A C

G B 3

2 D

H E

F

5 4

scrivere tutte le possibili LKT, avendo fissato un sistema di riferimento per le tensioni di

lato e il verso di percorrenza delle maglie. , e nel caso in cui = 4V, = 4kV,

Successivamente si valutino le tensioni v v v v v v

D G H A B C

= 8mV, = 10kV, = 7V

v v

E F

Fissiamo un sistema di riferimento per le tensioni di lato come indicato in figura:

6 1

A C

G B 3

2 D

H E

F

5 4

e disegnamo le diverse maglie che si possono individuare nel circuito, per ciascuna delle

quali fissiamo arbitrariamente un verso di percorrenza:

18 Acciani, Fornarelli , Brunetti – Esercizi svolti di Elettrotecnica

6 1 1 1

A 3

2

C D C

G B B H E B

2 3

3

2 2

D F

5 4

maglia 2 maglia 3

H H E

F

5 5 4

maglia 1 maglia 4

1

6 6 1

A A C

B

G G

3

2 D 3

2 D

E H

F

5 4 5

maglia 5 maglia 6

6 1 C

A

G 3

E

F

5 4

maglia 7 19

Capitolo 1 – Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

Scriviamo la LKT per ciascuna maglia (la somma algebrica delle tensioni di lato è nulla istante

per istante): − + + + =

maglia 1: 0

v v v v

A B H G

− + + =

maglia 2: 0

v v v

B C D

− + + − =

maglia 3: v v v v 0

D E F H

− + + + − =

maglia 4: 0

v v v v v

B C E F H

− + − + + + =

maglia 5: 0

v v v v v v

A B D E F G

− + + + + =

maglia 6: 0

v v v v v

A C D H G

− + + + + =

maglia 7: 0

v v v v v

A C E F G

A questo punto per determinare le incog