Esercitazioni Costruzioni navali 3

Messoriano Giulia - matricola 5198205 – A.A. 2023/2024

Esercitazione 1

Finalità

L'esercitazione ha lo scopo di analizzare le caratteristiche di sollecitazione di una trave appoggiata agli estremi e sottoposta a un carico distribuito linearmente (trapezoidale) su parte della campata, utilizzando metodi numerici per il calcolo degli integrali.

Procedura

Utilizzando un foglio di calcolo Excel, si discretizza la campata della trave in n = 100 intervalli, raddoppiando ogni valore in modo da poter avere due valori di carico q(x) sullo stesso punto e gestire eventuali discontinuità.

Note le ascisse di inizio x e fine x distribuzione del carico, il suo baricentro X e il carico totale i f GqQ, si calcolano i valori estremi q(xi) e q(xf).

Per quanto riguarda i valori del carico all’interno dei due estremi, si esegue con una interpolazione lineare.

Per ottenere il taglio, si procede integrando il carico con il metodo dei trapezi e successivamente si integra la distribuzione di taglio per ottenere la distribuzione di momento flettente.

La costante di integrazione T(0) = R(0) si ottiene imponendo l’equilibrio alla rotazione e alla traslazione verticale della trave mentre la seconda costante di integrazione è pari a M(0) = 0.

Per concludere si esegue una rappresentazione grafica dei valori tabulati, permettendo di visualizzare l’andamento delle funzioni di carico, taglio e momento, rendendo possibile valutarne punti critici o a rischio.

Dati di partenza

I risultati sono stati ottenuti con i seguenti dati iniziali:

• Campata della trave L = 4 [m];
• Ascissa di inizio distribuzione carico xi = 1,6 [m];
• Ascissa di fine distribuzione carico xf = 3 [m];
• Valore del carico: Q = 3,5 [t];
• Ascissa del baricentro della distribuzione q(x): X = 2,5 [m];

Gq

Fasi di calcolo

Per prima cosa si ricavano i valori estremi della distribuzione di carico, che sono stati ottenuti con le seguenti formule:

6 ̅ )( = − [ ] 2

6 ̅ ( = + [ ]) 2

Dove l = xi – xf è la lunghezza di trave soggetta al carico e è la distanza del ̅ = − [] 2 baricentro dalla metà lunghezza l.

L’equilibrio alla traslazione e rotazione della trave si impone con il seguente sistema:

∑ = (0) + () = ∫ () = 0

∑ = () ∗ = ∫ () ∗ = ∗ (0) 0

Per calcolare gli integrali si utilizza l’integrazione numerica, ovvero si sommano le aree di tutti i trapezi sottesi alla funzione ().

1) )) ( ) = (( + ( ∗ − ∗ +1 +1 2

Si è ottenuto:

∗ () = = 2,19 []

(0) = − () = 1,31 []

La distribuzione di taglio si ricava nuovamente con il metodo dei () = (0) + () ∫0 trapezi, osservando che nel punto si ottiene = () = (). La distribuzione del momento si ottiene invece risolvendo con il () = (0) + () ∫0 metodo dei trapezi, sapendo che dato che i vincoli della trave hanno una cerniera. (0) = 0

Risultati

Si riporta in un unico grafico l’andamento del carico, taglio e momento flettente verticale lungo la campata della trave. Dal diagramma si può osservare che:

• Il taglio ha valore pari alle reazioni vincolari alle estremità della trave, mentre il momento si annulla in questi due punti.
• Con l’approssimazione di distribuzione lineare del carico, non si può scegliere l’ascissa del baricentro al di fuori del terzo centrale della campata su cui è ripartito, altrimenti si otterrebbe un trapezio degenere che non rappresenta la realtà.
• Essendo l’andamento del carico lineare, il suo integrale (il taglio) non è approssimato se svolto con il metodo dei trapezi. È invece approssimato l’andamento del momento, che per questo motivo all’estremità finale non raggiunge lo zero con errore trascurabile.

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• Essendo il carico la derivata del taglio, quando il primo si annulla, si ha un minimo o massimo del taglio.
• Essendo il taglio la derivata del momento flettente, in corrispondenza del massimo o minimo del momento si ha l’annullamento del taglio.

Distribuzione di carico, taglio e momento

4 Carico 3 Taglio 2 Momento [tm] flettente 1 Mv(x) 0 0 1 2 3 4 5 [t], -1 T(x) -2 [t/m], -3 q(x) -4 -5 -6 X [m]

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Esercitazione 2

Finalità

Lo scopo dell’esercitazione è diagrammare l’andamento del carico taglio verticale e (), () momento flettente verticale di un pontone parallelepipedo, soggetto al proprio peso ad un (), peso distribuito linearmente su una parte della lunghezza e alla spinta./2

Procedura

Si procede discretizzando la campata della trave in intervalli, raddoppiando ogni per = 400 avere due valori per la stessa ascissa e gestire distribuzioni discontinue.

Note le ascisse di inizio e fine distribuzione, il baricentro e il valore totale di peso proprio e peso trasportato, si calcolano i valori agli estremi e tutti quelli interni alla distribuzione con un’interpolazione lineare.

Per quanto riguarda la spinta per avere l’equilibrio alla traslazione verticale, il modulo della (), spinta deve eguagliare il modulo della somma di peso proprio e peso trasportato. Per quanto riguarda invece l’equilibrio alla rotazione nel piano verticale, si deve avere l’uguaglianza tra i momenti di e rispetto ad un qualsiasi asse trasversale.() ()

Si ottiene così il valore totale della spinta e l’ascissa del suo baricentro, si calcolano poi i valori agli estremi del pontone e quelli interni alla distribuzione con interpolazione.()

La distribuzione del carico si ottiene sommando algebricamente la distribuzione di spinta e quella dei pesi.

Integrando poi numericamente si ottiene prima il taglio e poi il momento flettente e si () (), osserva che in questo caso, essendo il pontone non vincolato agli estremi, le costanti di integrazione sono nulle.

Dati di partenza

L’esercitazione è svolta conoscendo i seguenti dati iniziali:

• Lunghezza del pontone []; = 200
• Peso del pontone []; = 6000
• Ascissa del baricentro della distribuzione del peso proprio = = 100 []; 2
• Peso in coperta []; = 30002
• Ascissa di inizio distribuzione peso in coperta []; = 70
• Ascissa di fine distribuzione peso in coperta []; = 180
• Ascissa del baricentro della distribuzione del peso in coperta = 135 [].

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Fasi di calcolo

I valori estremi delle distribuzioni di pesi e spinte sono stati ottenuti con le seguenti formule:

6 ∗ ∗ ̅ )( = − [ ] 2

6 ∗ ∗ ̅ ( ) = + [ ] 2

Mentre i valori interni si sono ottenuti con interpolazione lineare:

) )( − )(( − ( −1 +1 −1) )( = ( + [ ] −1 ( − ) +1 −1

Dove è la lunghezza di pontone soggetta al peso e è la distanza = − [] ̅ = − [] 2 del baricentro dalla metà lunghezza .

Essendo il baricentro del peso proprio metà lunghezza la distribuzione è rettangolare mentre il, peso in coperta ha una distribuzione trapezoidale.

Per la spinta si impone: ( ) = − + = 9000 []2

Inoltre, si trova l’ascissa del suo baricentro con il teorema dei momenti statici:

∗ + ∗ 2 2 = = 111.67 [] + 2

Si riporta in figura il diagramma della distribuzione del peso totale, dato dalla somma del peso proprio del pontone e del carico, e della spinta.

Distribuzione pesi e spinta

70 Spinta 60 50 Peso totale 40 30 20 [t/m] 10 0 s(x) 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 -10, -20 p(x) -30 -40 -50 -60 -70 -80 X [m]

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Si procede calcolando la distribuzione di carico:

() = () + () − ()2

Integrando con il metodo dei trapezi, ovvero sommando le aree dei trapezi sottesi alla distribuzione, si ottiene il taglio con costante di integrazione nulla:

+1 1() (0) )) ( ) = + ∫ () = ∑(( + ( ∗ − ∗ +1 +1 20 =0

Integrando, sempre numericamente, il taglio, con costante di integrazione nulla, si ottiene il momento flettente:

+1 1() (0) () )) ( ) = + ∫ = ∑(( + ( ∗ − ∗ +1 +1 20 =0

Risultati

Si riporta la distribuzione del carico, taglio e momento flettente lungo il pontone:

Carico

40 30 20 [t/m] 10 qv(x) 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 -10 -20 X [m]

Taglio

400 300 200 100 0 [t] 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 -100 Tv(x) -200 -300 -400 -500 -600 -700 X [m]

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Momento flettente

25000 20000 15000 [tm] 10000 Mv(x) 5000 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 -5000 X [m]

Si conclude facendo le seguenti osservazioni:

• L’equilibrio alla traslazione verticale si ha se sono verificate le seguenti equivalenti condizioni:
  • Il modulo del peso totale eguaglia il modulo della spinta totale
  • La distribuzione di carico ha area sottesa nulla
  • Il taglio verticale si annulla alle estremità del pontone
• Il momento della distribuzione del carico deve essere nullo rispetto a qualunque asse trasversale preso di riferimento, dato che il termine di trasporto è nullo. Questa condizione garantisce l’equilibrio alla rotazione nel piano verticale. In modo equivalente il valore del momento flettente alle estremità deve essere nullo.
• Essendo l’andamento del carico lineare, il suo integrale, ovvero il taglio, non è approssimato se svolto con il metodo dei trapezi, infatti all’estremità finale L si annulla. È invece approssimato l’andamento del momento che, essendo il taglio quadratico, all’estremità finale non raggiunge lo zero ma l’errore si può ritenere trascurabile.
• Essendo il carico la derivata del taglio, quando il primo si annulla si ha un minimo o massimo del taglio. Inoltre, se il carico ha una discontinuità, nel diagramma del taglio si ha un punto angoloso.
• Essendo il taglio la derivata del momento flettente, in corrispondenza del massimo o minimo del momento si ha l’annullamento del taglio. Inoltre, dove il momento presenta un flesso, nel diagramma del taglio si ha un massimo o minimo.

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Esercitazione 3

Finalità

Lo scopo di questa esercitazione è, noti i disegni strutturali della nave considerata:

1. Per la sezione degli elementi longitudinali, calcolare la quota verticale del baricentro e il momento di inerzia rispetto all’asse orizzontale baricentrico.
2. Per gli elementi trasversali ordinari, calcolare il peso totale.
3. Per gli elementi trasversali primari, calcolare il peso totale.
4. Calcolare il peso per unità di lunghezza di una trancia di nave a cavallo della sezione considerata.

Procedura

Per semplicità si svolgono i calcoli per metà sezione della nave e alla fine si moltiplica per due.

Noto il disegno della sezione maestra comune, si ricava la scala di rappresentazione per poter ricavare, semplicemente con un righello, le dimensioni degli elementi non quotati nei disegni. Si approssima ogni elemento longitudinale (fasciame del ponte, cinta-trincarino, fasciame fianco, ginocchio, fasciame fondo, chiglia, cielo del doppiofondo, paramezzali, correnti del ponte, correnti del cielo, correnti del fondo e corrente del fianco) a una figura geometrica elementare e se ne calcola area trasversale, quota del baricentro, momento statico rispetto all’asse orizzontale passante per il punto di chiglia e di conseguenza la quota del baricentro della sezione totale Z_G.

Si procede calcolando i momenti di inerzia propri delle figure rispetto all’asse orizzontale e con il teorema del trasporto i momenti di inerzia rispetto all’asse baricentrico, che sommati danno il Jmae cercato.

Per i correnti a bulbo è stato utilizzato il bulbario, nel quale sono riportate tutte le quote e caratteristiche geometriche.

La paratia corrugata contribuisce invece al peso della struttura ma non collabora alla robustezza flessionale del trave scafo, essendo le sue corrugazioni verticali.

Noto il disegno della sezione comune e rinforzata e la scala di rappresentazione, si approssimano gli elementi trasversali comuni (costola, squadre del ponte, del fianco e del fondo, barrotto del ginocchio e della chiglia) e rinforzati (baglio, squadra del baglio e della costola rinforzata, madiere, costola rinforzata, rinforzi e fazzoletti) a figure elementari.

Se ne calcola area e volume, noto lo spessore. Infine, noto il peso specifico dell’acciaio, si trova il peso di tali elementi.

Si divide per la lunghezza della trancia di scafo il peso degli elementi longitudinali di tale trancia, in modo da ricavare il peso per unità di lunghezza.

Si calcola una media del peso degli elementi trasversali, sia ordinari che rinforzati.

Si somma alle due voci appena calcolate il peso della paratia longitudinale di lunghezza unitaria.

Dati di partenza

• Disegni strutturali della sezione trasversale comune e rinforzata (vedi appendice);
• Bulbario (vedi appendice);
• Peso specifico dell’acciaio; = 7.8 [ ] 3
• Intervallo di ossatura. = 0.68 []

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Fasi del calcolo

La quota del baricentro si trova come il rapporto tra il momento statico totale delle figure, rispetto all’asse orizzontale passante per il punto di chiglia, e l’area della sezione:

∑ ∗ = = [] ∑

La formula del teorema del trasporto, per passare dal momento di inerzia proprio della figura al momento rispetto all’asse parallelo passante per il baricentro della sezione, è la seguente:

2 4( ) = + ∗ − [ ]

Per quanto