Macchine a Fluido - Soluzione 2007

Anno 2007

Si rende necessario svuotare un invaso di 75.000 m³, pieno d’acqua, per mezzo di una pompa centrifuga avente un rendimento pari a 0.8 e in presenza di un’altezza manometrica di 7.5 m.

Si ipotizzi che a valle della pompa vi sia un venturimetro, le cui dimensioni sono d₁ = 30 cm e d₂ = 25 cm, che consente di leggere un dislivello differenziale di h = 180 mm di colonnina di mercurio.

Il candidato, fatte le opportune deduzioni e dopo aver motivatamente scelto ogni altro elemento o parametro eventualmente necessari, disegni lo schema dell’impianto e determini:

• L’alesaggio dei cilindri di un motore Diesel a quattro tempi in grado di trascinare la pompa a un regime di 3500 giri/min;
• Il consumo [litri/h], nel caso in cui il rendimento del motore sia η = 0.33;
• Il tempo complessivamente necessario a svuotare l’invaso.

Nota: Il dislivello differenziale h = 180 di H_g, misurato dal venturimetro, è molto eccessivo, così nella tubazione data le velocità del fluido risultano altissime.

1. Alesaggio

Segnando m = v₂/v₁ = A₁/A₂ = d₁²/d₂² = 0.3²/0.25² = 1.44, il rapporto di strozzamento si trova:

ρ_Hg − ρ_l

v₁ = √[2gh(ρ_Hg − ρ_l)/(ρ_l(m² − 1))] = √[(2 · 9.81 · 0.18 · 13500 − 1000)/(1000(1.44² − 1))] = 6.4 m/s.

La portata risulta: Q = A₁ · v₁ = 3.14 · 0.3²/4 · 6.4 = 0.453 m³/s.

La potenza assorbita della pompa = potenza del motore:

P_as = γ · Q · H/η = 9810 · 0.453 · 7.5/0.8 = 41700 W.

La pompa è accoppiata direttamente ad un motore Diesel 4T che eroga a 3500 g/min la potenza: P_mot = 41700 W = 41.7 kW, che si esprime con:

P_mot = p_me · V · n/(300 · h).

Dove:

• p_me = rappresenta la pressione media effettiva in bar;
• P = γ · Q · H;
• V = cilindrata complessiva del motore in dm³;
• n = numero dei giri del motore/pompa;
• η;
• h = tempi motore 2 o 4.

Testi tecnici forniscono la pressione media effettiva 10 bar, quindi si ricava la cilindrata:

V = P_mot · 300 · h/(n · p_me) = 41.7 · 300 · 4/(3500 · 10) = 1.43 dm³ = 1430 cm³.

Supponiamo il motore a 4 cilindri e con valore della corsa uguale all’alesaggio (C = D):

V = 4(π/4 · D² · C), da cui, con C = D:

D = ∛(4V/(4π)) = ∛(1430/π) = 7.7 cm = 77 mm.

2. Il consumo

Assumiamo dal manuale il potere calorifico inferiore del gasolio P_ci = 41 000 kJ/kg.