2001 - Liceo scientifico di ordinamento - questionario sessione suppletiva

Esame di stato

Sui coefficienti binomiali

Quesito n. 3 del Questionario della Prova d’Esame di Stato dei Corsi Tradizionali, sessione suppletiva, dell’anno 2001.

Calcolare, se esiste, un numero n per il quale risulti:

∑_k=0ⁿ ⌈ⁿ_k = 1.048.576

Soluzione

Si tratta di stabilire se esiste un numero naturale n che verifica l’uguaglianza richiesta. Faremo vedere che esiste un solo numero intero che ha detta proprietà.

Ricordiamo che sussiste la seguente regola per lo sviluppo della potenza n-esima del binomio:

(a + b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ ⌈ⁿ_k a^n-kb^k

conosciuta come regola di Newton per lo sviluppo della potenza del binomio. Ebbene, con a = b = 1 la regola diventa:

(1 + 1)ⁿ = 2ⁿ

e quindi si ha anche:

∑_k=0ⁿ ⌈ⁿ_k = 2ⁿ = 1.048.576.

Osservato che 1.046.576 è il valore della potenza 2²⁰, si conclude che il numero richiesto è n = 20.

Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it

Esame di stato

Sulla funzione integrale e la regola di de l’Hôpital

Quesito n. 4 del Questionario della Prova d’Esame di Stato dei Corsi Tradizionali, sessione suppletiva, dell’anno 2001.

1) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il campo reale, tale che f(0) = 1 ed f’(0) = 2. Calcolare:

lim_{x → 0} [∫₀^x f(t) dt − x] / [cos 2x − 1]

Soluzione

La funzione f(x), essendo derivabile su tutto l’asse reale, è anche continua e perciò esiste ed è finito l’integrale definito per ogni x reale. Inoltre, il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura che la funzione:

F(x) = ∫₀^x f(t) dt

è una primitiva della funzione f(x) e dunque risulta:

F’(x) = f(x).

La funzione F(x) è definita su tutto l’asse reale ed essendo derivabile è anche continua, perciò risulta:

lim_{x → 0} F(x) = F(0);

poiché:

∫₀⁰ f(t) dt = 0

si deduce che F(0) = 0.

Da quanto detto emerge che il limite in esame si presenta nella forma 0/0 e poiché le funzioni che figurano al numeratore e al denominatore della frazione sono continue e derivabili risultano soddisfatte le condizioni per l’applicazione della regola di de l’Hôpital al limite. Applichiamola.

lim_{x → 0} [∫₀^x f(t) dt − x] / [cos 2x − 1] = lim_{x → 0} [f(x) − 1] / [−2 sen 2x] = H.