1948 Settembre - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Settembre, matematicamente.it

Settembre 1948, primo problema

Data una circonferenza di diametro AB = 2r determinare sul

prolungamento di AB, oltre B, un punto P tale che si abbia

2 2 2

PT + TQ = k PA

Con k numero reale positivo, ove T è il punto di contatto di una

delle tangenti condotte da P alla circonferenza e Q il punto di

intersezione di questa tangente con quella condotta da A alla

circonferenza stessa.

Discutere il problema.

Poniamo  

BP x con x 0

Il triangolo OTP è rettangolo e perciò

   

      

2

2 2 2 2

PT OP OT r x r x 2r x

Il triangolo QAP è simile al triangolo OTP (hanno un angolo in comune

e sono entrambi rettangoli) e quindi vale la proporzione

AP : AQ = TP : TO

 

   

2



 2r x r

2r x r

AP TO

   

AQ 



TP 2 x 2r x

2rx x

   2

2r x r r 2rx x

  x

x

Ma è Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Settembre, matematicamente.it

AQ = QT

E allora    

 

2 2 2

r 2rx x r 2r x

 

2

QT 2

x x

 

  2

2

PA 2r x

Imponendo la relazione fornita dal problema si ottiene

 



2

r 2r x

   

   

x 2r x k 2r x

x

Dividiamo i due membri per 2r + x essendo senz’altro x ≠ -2r

2

r  

  

x k 2r x

x

Eliminiamo il denominatore (con la condizione suppletiva

≠ 0). Si ha

x  

   

2 2

x k 1 2krx r 0

 

x 0 k 0 2

Che è l’equazione parametrica da discutere. Poniamo x = y

  2

 y x

  

   

2

 y k 1 2krx r 0



Si ha una parabola con vertice nell’origine ed asse verticale di cui

dovremo considerare solo i punti con ascissa positiva, e un fascio di

rette di cui, al solito, possiamo determinare il centro dando a k due

valori arbitrari.

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Settembre, matematicamente.it

       

2 2

k 0 y r 0 y r

r

     

2

k 1 2rx r 0 y 2

E quindi  

r

  2

 

C ; r

 

2

Il coefficiente angolare delle rette del fascio è

2kr



(1) m 

1 k

Calcoliamo per quale valore di k la retta del fascio è tangente alla

parabola in L

  2

 y x  

     