Esercizi assegnati svolti di Geometria analitica e algebra lineare

Esercizi di algebra

Matrici

Es. 1.1

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

B = \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)

C = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)

Calcolare la matrice D = 2A + 3B + (-1)C

D = 2 \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) + 3 \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \) \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \)

Es. 1.2

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

B = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)

C = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \)

Calcolare D = (A² - 7B³)C

D = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) - 7 \( \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) - 7 \( \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \) \) = \( \begin{pmatrix} 14 & -43 \\ 14 & -15 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 28 & -14 & 35 & 56 & -9 \\ 28 & -14 & 45 & 56 & 15 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 28 & -53 & 43 \\ 28 & 31 & 7 \end{pmatrix} \)

Es. 1.3

Verificare che AB ≠ BA

AB ≠ BA

Es. 1.4

B - SI = πA

AB = B - SI

BA ≠ πA

Es. 1.9

(i) S∈S₅ → S=S

S²∈ S_m

L t_(S²) = S²

t_(S²) t(S.S) = S.S.S = S.S.S = S.S.S = S²

(ii) S→invertito di S. S. S^-4 = I

S^-4 t S_n quindi dim: t_(S^-4) = S^-4 usando t_(S^-5) S = t_(S⁵)

Es. 1.10

• A² + 5A - 2I = 5?

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) + 5 \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) - 2 \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 15 & 27 \\ 7 & 41 \end{pmatrix} \)

• Ver. opp. A² - 4A + I = 0

\( \begin{pmatrix} 1 & 12 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 1 & 12 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} \)

Es. 2.4

Per definizione det A = det t'A (da 2 princ).

Se t'A = -A allora det A = det (-A) → det A = (-1)ⁿ det A

Se n è pari allora det A = det A e quindi esso potrebbe o non potrebbe essere 0.

Se n è dispari allora det A = -det A → det A = 0 poiché l'unico numero uguale al suo opposto è 0.

Es. 2.5

(1)

det A = det \( \begin{vmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \\ 7 & 4 & 3 \end{vmatrix} \) → 2 det \( \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} \) + 2 det \( \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} \) + 0 = 2 (-6 + 4) + 2 (3 + 7)

(2)

det A = det \( \begin{vmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \\ 7 & 4 & 3 \end{vmatrix} \) → 7 det \( \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} \) -4 det \( \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \) + 3 det \( \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \)

Es. 2.8

det \( \begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} \) s 0 + 0 + 0 − (0 + 64 + 0) s − 64 ≠ 0 è invertibile!

Es. 2.8

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

R₃ − R₂ + R₃

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

R₂ + R₂ + R₁

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

R₁ + R₁ − R₂

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

B =

\( \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \)

rg B = 4

C =

\( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \)

rg C = 3

D =

\( \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 & 3 \\ 6 & 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 3 & 7 \\ 88 & 88 & 0 & 88 \end{vmatrix} \)

R₂ → R₂ - R₁

R₃ → R₃ - R₁

R₄ → R₄ - 88R₁

→ \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -88 & -88 & -88 \end{vmatrix} \)

rg D = 2

rg F = 2

K³ - 5K + 2 = (K - 1)(aK² + bK + c)

aK³ + bK² + cK = aK² - bK - c

Equazioni

\[ \frac{7}{2} + 4 + \frac{4}{2} + 1 - 8 + x_2 - \frac{7}{2} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{5} - \frac{5}{3} = 7 + \frac{1}{2} = 4 \]

\[ \frac{3 + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 3 \] \[8 * \frac{1}{2} \frac{12}{2} \] [log] \lambda = 3 \]

Determinanti

\[ \text{det} A = \text{det} \begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \]

\[S = \begin{vmatrix} 1 \\ 7 \end{vmatrix} \]

\[S = 1 + 1 + 2 \]

Sistemi di equazioni

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_2 + x_3 = 3 \\ -x_2 + x_3 = -3 \\ -x_3 = 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x_1 = -\frac{1}{x_3} \\ x_1 - x_2 - x_3 = 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x_1 = \frac{1}{3} \\ x_3 = \frac{3}{2} \\ x_2 = \frac{1}{2} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x_1 = -\frac{1}{2} - x_3 = 2 \end{cases} \]

\[S = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} \\ 1 \end{bmatrix}\]

\[R = \begin{vmatrix} -\frac{1}{4} \end{vmatrix}\]

Colonne

\[ \text{1\(^\text{°}\) colonna} (x_1 x_2 x_3) \]

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + x_3 = 0 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}\]

Matrici e operazioni di riga

\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

[R\(_1\) → R\(_1\) - R\(_2\)] [R\(_3\) → R\(_3\) - R\(_2\)]

\[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

[R] - \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

Es. 3.7

Per quali α ∈ ℝ Ax = B ha soluzioni?

A = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \)

x = \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \)

B = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ \alpha \end{pmatrix} \)

(A|b) = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & \alpha \end{pmatrix} \)

→ R₂ → R₂ - R₁

→ R₃ → R₃ - R₁

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & \alpha - 1 \end{pmatrix} \)

→ R₃ → R₃ - \(\frac{3}{2}\) R₂

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & \alpha - 7 \end{pmatrix} \)

\(\alpha - 7 \ne 0\)

\(\alpha \ne 7\)

\(\alpha\) _pivot = flag A = 2

\(\alpha \le 7\) ∃ sol.

Per \(\alpha \le 7\) ∃ \(\infty^{3-2}\) sol.

\( \begin{pmatrix} x_1 - x_2 = 1 \\ x_2 = 2 \\ x_3 = t \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} x_1 = 3 \\ x_2 = 2 \\ x_3 = t \end{pmatrix} \)

Si: \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ t \end{pmatrix} \) ; t ∈ ℝ

\( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \)