Formulario completo Fisica 2

Energia elettrostatica di una distribuzione continua di carica

(inviare osservazioni a agnesi@unipv.it)

Derivazione generale (nel vuoto)

Ricordiamo come si calcola l’energia potenziale di un insieme di cariche puntiformi: bisogna sommare l’energia potenziale di tutte le coppie di cariche, ciascuna coppia una volta sola.

Questo equivale al lavoro fatto per costituire la distribuzione di carica aggiungendo una carica per volta, portandola nella sua posizione a partire da una distanza infinita e attribuendo 0 all’energia potenziale di una carica all’infinito:

q q₁ 1∑ ∑ = =_{i j}U q Vπε_{e i ij}2 4 r 2_{i≠j i≠j}0 ij

V_ij q_j q_i r_ij essendo il potenziale dovuto alla carica nella posizione della carica, distante.

Quando la distribuzione diventa continua:

1 ∫ =U V dq_e 2 ρ_Vol { }

Essendo l’integrale calcolato sulla regione di spazio effettivamente occupata dalla distribuzione di carica, ovvero dove ρ ≠ 0.

Nulla vieta di estendere l’integrale a tutto lo spazio, facendo comparire esplicitamente la densità volumetrica di carica (che evidentemente vale 0 fuori dalla regione in cui si trova la carica):

ρ τ = dq / de

1 ∫ ρ τ =U V de_e 2 3!

Usiamo la prima equazione di Maxwell:

ρ ε∇ · =E / 0_e

E osserviamo che:

∇ · (V E) = E · ∇V + V ∇ · E = E · −E + V ∇ · E

Pertanto:

⌈ ⌉
! !1 1∫ ∫ ∫ε τ ε τ τ= · = ∇ · (V +
⌊ ⌋U V (∇ · E)d E)d E de_{0 0}
2 2 3 3 3!

⌈ ⌉
! ! ⌈ ⌉1 1∫ ∫ ∫ε τ ε τ= · + =
⌊ ⌋2 2U VE d S E d E d
⌊ ⌋_{e 0 0}
2 2
⌈ ⌉⌊ ⌋3 3!

S_R S avendo applicato il teorema della divergenza e osservando che la superficie corrisponde a una sfera con R → ∞, la cui superficie cresce come 2R_R, mentre l’integrando ha una dipendenza del tipo 1 / R o più debole (in caso di carica totale nulla), per cui il primo integrale si annulla.

Evidentemente, l’espressione trovata ci dice che la densità volumetrica di energia del campo elettrostatico, in una situazione del tutto generale (non solo per il condensatore piano) è:

1 ε = 2u E_e 0²2

Operativamente: data una distribuzione di carica, si calcola il campo elettrico (sfruttando teor