Trasporto di un fattore sotto il segno di radice

Parliamo del trasporto di un fattore sotto il segno di radice. A scuola è capitato molte volte di trovarsi immersi in esercizi di questo genere, dunque si andrà ad analizzare e spiegare le tipologie di esercizi base, passando attraverso la definizione e la dimostrazione.

Definizione

Quando un radicale è moltiplicato per un numero positivo, si può portare tale numero entro radice, quale fattore del radicando, dopo averlo elevato alla potenza di esponente uguale all'indice della radice.

Dimostrazione

Consideriamo l'espressione:

Ricordiamo che vale la seguente proprietà fondamentale dei radicali:

Perciò si può scrivere così:

Si applica poi la regola per il prodotto di radicali; avendo le radici uguale indice si procede al prodotto dei radicandi e si ottiene:

Per la proprietà transitiva si deduce allora:

Esempi numerici

Facciamo dei semplici esempi numerici chiarificatori:

Trasporto sotto segno di radice di fattori letterali

Finora si è analizzato dei casi in cui i fattori da trasportare dentro alla radice siano sempre positivi. Altre volte si possono avere da trasportare dentro alla radice dei fattori letterali (come a ; b ; a+b ; a \times b). Di questi, però, non si può sapere con certezza se sono positivi (e quindi trasportabili sotto radice) o negativi, ed è dunque necessaria una discussione nella quale si specifichi ciò che succede quando positivi e ciò quando negativi. Ad esempio, si può avere:

Qui devo come prima cosa analizzare il radicando e vedere se ci sono condizioni di esistenza: in questo caso no, perchè la radice quadrata impone che il suo radicando sia positivo e il 2 è sempre positivo!

In secondo luogo, devo suddividere i due casi:

- se

- se

si procede poi a portar dentro:

In definitiva, dopo aver eseguito tutti i passaggi sopraccitati, si ottiene:

-

-

Naturalmente, esiste anche il caso in cui si abbiano delle condizioni di esistenza del radicando che riguardano anche il valore da portar dentro. In tal situazione eseguo l'operazione senza discutere i due casi:

la condizione di esistenza è

Perciò se io conosco come condizione di esistenza che a è sempre maggiore o al massimo uguale a 0 (ma comunque positivo), non si può mai verificare il caso in cui a sia negativo, e perciò applico la regola ed eseguo l'operazione senza discutere:

Si può verificare, però, anche il caso in cui io debba portare dentro alla radice una somma o differenza di lettere delle quali non conosco il segno. Anche in questo caso il procedimento è analogo:

La condizione di esistenza è

Distinguo i due casi:

- se

il doppio uso delle parentesi tonde è dovuto alla video-scrittura;

- se

da notare che

Ma anche in questo caso si deve tener d'occhio le condizioni di esistenza. Infatti:

Condizioni di esistenza:
- se consideriamo il radicando, si ha come condizione di esistenza

Pertanto so che

da notare che nel secondo passaggio

Quando bisogna portare un fattore letterale sotto radice cubica ed è necessaria la discussione, sia nel caso positivo che in quello negativo si ottengono due risultati uguali. Eccovi la spiegazione.

Non ci sono condizioni di esistenza.

Si distinguono i due casi:

- se

- se

Anche se a prima vista sembrano diversi, ma adesso vi mostro che in realtà sono identici!

Innanzi tutto premetto che:

Perciò nel seguente caso io posso scrivere:

Ma ritorniamo all'esempio di prima:

Abbiamo trovato come risultati:

-

Se applichiamo al secondo risultato il discorso precedentemente analizzato, si ottiene:

Confrontiamo ora i risultati:

-

Si può dire, dunque, che sono uguali! Questo discorso vale, però, solo ed esclusivamente per le radici cubiche!

Riepilogo finale e schematizzazione

Riepilogando le idee, ecco uno schema che potete seguire per fare l'operazione di portare sotto segno di radice:
1) Copiare bene il testo o, nel caso io abbia precedentemente un'espressione, fare bene i calcoli e scrivere bene i segni.
2) Individuare se si lavora in R+ o in R
3) Porre le condizioni di esistenza, analizzando sia il radicale che il valore fuori radice.
4) Individuare il metodo di risoluzione dell'esercizio, capendo se è necessaria o meno la discussione e quali sono i casi da discutere.
5) Procedere allo svolgimento dell'esercizio, mostrando con ordine i passaggi.
6) Revisione e controllo delle precedenti fasi.