Secondo esercizio sul primo principio della termodinamica

Anthrax606
di Anthrax606
4 min
Genius
Vota 5/5
Appunto verificato
Contenuto verificato e approvato dal  Team di Esperti di Skuola.net Informazioni appunto verificato Informazioni appunto verificato hover

Scopri il primo principio della termodinamica attraverso un esercizio pratico su un blocchetto di vapore d'acqua in trasformazione isoterma. Analizziamo il lavoro svolto considerando sia il gas perfetto che l'equazione di Van der Waals.

Concetti Chiave

  • Il primo principio della termodinamica viene applicato per calcolare il lavoro di un blocchetto di vapor d'acqua in trasformazione isoterma reversibile.
  • Nel caso di gas perfetto, il lavoro è calcolato con l'integrale che porta a un valore di 14,3 x 10^3 J.
  • Utilizzando l'equazione di Van der Waals, il lavoro risulta essere 14,0 x 10^3 J, tenendo conto delle interazioni tra molecole.
  • Il valore del lavoro nei due casi è simile a causa dell'alta temperatura, che favorisce un comportamento simile ai gas perfetti.
  • La temperatura di 500°C è superiore alla temperatura critica, giustificando l'approccio del gas perfetto anche per gas reali.
SECONDO ESERCIZIO SUL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Oggi parleremo del primo principio della termodinamica, ed in particolare ci soffermeremo a risolvere un problema riguardante un blocchetto di vapor d'acqua che esegue una trasformazione reversibile isoterma. Il testo del problema è il seguente:

Una mole di vapor d’acqua esegue una trasformazione reversibile isoterma alla temperatura di

[math]500°C[/math]
passando da un volume
[math]V_{1}=1,05l[/math]
a un volume
[math]V_{2}=9,80l[/math]
. Si calcoli il lavoro fatto dal sistema nelle seguenti approssimazioni:
a) il vapor d’acqua è considerato un gas perfetto
b) il gas soddisfa l’equazione di Van der Waals con i parametri
[math] α=5,46(l^{2}*atm)/mole^{2}; b=0,0305l/mole[/math]

In entrambi i casi il lavoro è dato da:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV[/math]

Dove

[math]ρ[/math]
è la pressione del gas, stiamo infatti considerando una trasformazione reversibile. Nel caso a, stiamo in una situazione di gas oerfetto quindi:

a)

[math]ρV=ηRT_{0} \to T_{0}=500+273=773k[/math]

Poiché consideriamo una mole di gas, allora

[math]η=1[/math]
, da cui ricaviamo
[math]ρ[/math]
:

[math]ρV=ηRT_{0}\ =>\ ρ=\frac{RT_{0}}{V}[/math]

Per cui, il lavoro fatto nel caso in cui consideriamo il gas come un gas perfetto sarà:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} RT_{0} \frac{φV}{V}=\ RT_{0} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{φV}{V}=\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}[/math]

Sostituendo i valori per i volumi

[math]V_{1}[/math]
e
[math]V_{2}[/math]
per la temperatura
[math]T_{0}[/math]
date dall'esercizio, e il valore
[math]R[/math]
per il valore dei gas, otteniamo il valore di:

[math]=>\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\ 14,3*10^{3}J[/math]

Ora consideriamo la situazione b: in questo caso la considerazione da considerare è quella di Van der Waals:

b)

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT[/math]

Anche in questo caso il lavoro sarà dato da:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV[/math]

Da questa relazione (

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT[/math]
) otteniamo che:

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT\ =>\ ρ=\frac{RT_{0}}{V-b}-\frac{α}{V^{2}}[/math]

Per cui il nostro integrale, nel caso dell'equazione di Van der Waals sarà dato da:

[math]L = \int_{V_1}^{V_2} \rho \, \phi \, V \, dV[/math]
[math]= \int_{V_1}^{V_2} \frac{R T_0 \, \phi V}{V - b} \, dV
+ \int_{V_1}^{V_2} - \frac{\alpha \, \phi V}{V^2} \, dV[/math]
[math]= R T_0 \ln \frac{V_2 - b}{V_1 - b} + \alpha \left( \frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right)[/math]

Anche in questo caso inserendo i valori dati dall'esercizio rispettivamente quelli del volume

[math]V_{1}[/math]
e
[math]V_{2}[/math]
, quelli della temperatura
[math]T_{0}[/math]
e
[math]α[/math]
e
[math]b[/math]
che sono le costanti nell'equazione di Van der Waals, otteniamo:

[math]R T_0 \ln \frac{V_2 - b}{V_1 - b} + \alpha \left( \frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right) = 14{,}0 \times 10^3 \, \text{J}[/math]

E' interessante notare che questo valore (

[math]14,0*10^{3}J[/math]
) è simile a quello ottenuto nel caso del gas perfetto (
[math]14,3*10^{3}J[/math]
). La spiegazione è semplice: siamo in una situazione di temperatura molto elevata e pertanto sappiamo che quando la temperatura è maggiore della temperatura critica, i gas reali tendono ad avere un comportamento che è descrivibile dal modello cinetico del gas perfetto:

[math]T_{0}=773k \to T>T_{C}[/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è il primo principio della termodinamica applicato a un gas perfetto?

    2. Il primo principio della termodinamica afferma che il lavoro fatto da un sistema durante una trasformazione reversibile isoterma può essere calcolato utilizzando la formula \(L = RT_{0} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}\), dove \(T_{0}\) è la temperatura in Kelvin e \(R\) è la costante dei gas.

  2. Come si calcola il lavoro per un gas reale secondo l'equazione di Van der Waals?

    3. Per un gas reale, il lavoro è calcolato con l'integrale \(L = R T_0 \ln \frac{V_2 - b}{V_1 - b} + \alpha \left( \frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right)\), dove \(b\) e \(\alpha\) sono parametri specifici del gas.

  3. Qual è il risultato del lavoro fatto dal vapore d'acqua in entrambe le situazioni?

    4. Il lavoro fatto dal vapore d'acqua è di \(14,3 \times 10^{3} J\) nel caso del gas perfetto e di \(14,0 \times 10^{3} J\) nel caso del gas reale, mostrando una somiglianza dovuta all'alta temperatura.

  4. Perché i gas reali si comportano come gas perfetti a temperature elevate?

    5. A temperature superiori alla temperatura critica, i gas reali tendono a comportarsi come gas perfetti, come evidenziato nel problema, dove \(T_{0} = 773 K\) è maggiore della temperatura critica.

Appunti correlati

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community
Vai al forum