Proporzioni: lavaggio vetri di un grattacielo

fabio.scardia
di fabio.scardia
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Scopri come applicare le proporzioni nel calcolo del tempo necessario per il lavaggio dei vetri di un grattacielo. Attraverso un esempio pratico, impara a determinare il tempo in base al numero di piani, semplificando le incognite in modo efficace.

Concetti Chiave

  • La proporzione è l'uguaglianza di due rapporti, rappresentata generalmente come a:b = c:d.
  • Nei termini della proporzione, a e d sono gli estremi, mentre b e c sono i medi.
  • La proprietà fondamentale delle proporzioni afferma che a · d = b · c, utile per risolvere incognite.
  • Il tempo impiegato per un lavoro è direttamente proporzionale al numero di piani di un grattacielo.
  • Riducendo il numero di piani a un terzo, il tempo necessario per completare il lavoro diventa 4.5 ore.

Quando si parla di proporzione, è importante ricordare che stiamo eguagliando due rapporti. Infatti una proporzione si scrive in generale nella forma:

[math] a: b = c:d [/math]
dove
[math] a, b, c, d [/math]
sono i termini della proporzione. Inoltre
[math] a, d[/math]
sono detti estremi mentre
[math] b,c [/math]
sono detti medi, e vale, in particolare:
[math] a \cdot d = b \cdot c [/math]
Quest'ultima proprietà ci permette (opportunamente manipolata) di trovare sempre l'incognita in una proporzione, anche quando le incognite "sembrano essere più di 2". Vediamo di seguito un esempio.

Testo dell'esercizio

Il tempo
[math]t[/math]
impiegato da un'impresa di pulizie per lavare i vetri delle finestre di un grattacielo è direttamente proporzionale al numero
[math]n[/math]
dei piani del grattacielo. Per un dato valore di
[math]n[/math]
, l' impresa impiega un tempo
[math]t= 13,5 ore[/math]
per portare a termine il lavoro. Che valore assume
[math]t[/math]
se il numero di piani è tre volte più piccolo?

Soluzione dell'esercizio

In questo caso sembra che dobbiamo determinare sia
[math] n[/math]
che il tempo. Non è esattamente così, però. Possiamo provare a scrivere la proporzione e osservare che, a conti fatti, si semplifica tutto!
Impostiamo la proporzione come numero di piani: tempo:
[math] n: 13.5 h = \frac{n}{3} : x [/math]
dove
[math] \frac{n}{3} [/math]
è la scrittura che viene utilizzata per indicare "3 volte più piccolo".
Usando le proprietà delle proporzioni troviamo che:
[math] x = \frac{13.5 h \cdot \frac{n}{3}}{n} = \frac{13.5 h}{3} = 4.5 h [/math]
perché
[math] n [/math]
si semplifica sopra e sotto!
Dunque la risposta è 4.5 h.

Domande da interrogazione

  1. Come si definisce una proporzione e quali sono i suoi termini?

    2. Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti, scritta nella forma \( a: b = c: d \), dove \( a \) e \( d \) sono gli estremi e \( b \) e \( c \) sono i medi. La proprietà fondamentale è che \( a \cdot d = b \cdot c \).

  2. Qual è la relazione tra il tempo impiegato e il numero di piani in un grattacielo secondo l'esempio fornito?

    3. Il tempo \( t \) impiegato per lavare i vetri è direttamente proporzionale al numero \( n \) dei piani del grattacielo. Se il numero di piani è ridotto a un terzo, il tempo impiegato diventa \( t = 4.5 \) ore.

  3. Come si risolve un problema di proporzione quando le incognite sembrano essere più di due?

    4. Anche se le incognite sembrano più di due, si può impostare una proporzione e semplificare i termini. Nell'esempio, si utilizza la proporzione \( n: 13.5 h = \frac{n}{3} : x \) e si trova che \( x = 4.5 h \) semplificando opportunamente.

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