Trigonometria problemi: Sono date la circonferenza γ di centro O e diametro AB = 2 e la corda AC = frac(6)(sqrt(13)). Condotta per C la retta tangente a γ che incontri in D il prolungamento di AB , determinare:...

Sono date la circonferenza γ di centro

e diametro e la corda . Condotta per la retta tangente a γ che incontri in il prolungamento di , determinare:

1. Le misure dei lati e le funzioni goniometriche degli angoli dei triangoli
   [math]ACB[/math]
   ,
   [math]OCD[/math]
   e
   [math]BCD[/math]
   ;
2. Le funzioni goniometriche degli angoli
   [math]hat{CAE}[/math]
   e
   [math]hat{CBE}[/math]
   , essendo
   [math]E[/math]
   il simmetrico di
   [math]C[/math]
   rispetto ad
   [math]AB[/math]
   .

Svolgimento (1)

Cominciamo prendendo in considerazione il primo triangolo, : esso è rettangolo, poiché inscritto in una semicirconferenza.

Conoscendo la misura di due dei suoi lati, possiamo determinare il terzo con il teorema di Pitagora:

ora, ricaviamo le funzioni goniometriche degli angoli mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli:

Per quanto riguarda l'angolo

, sappiamo che esso è rettangolo, di conseguenza conosciamo già le sue funzioni goniometriche:

Passiamo ora al secondo triangolo,

.

Sappiamo già che

, poiché corrisponde al raggio della circonferenza.

Inoltre, sappiamo che

, poiché un angolo al centro e uno alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uno il doppio dell'altro.

Cominciamo quindi trovando le funzioni goniometriche di questo angolo:

Applichiamo le formule di duplicazione:

Troviamo ora il suo coseno tramite la relazione fondamentale:

Il triangolo in questione è rettangolo, poiché il raggio forma con la tangente un angolo di

. Quindi, possiamo trovare il lato mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli:

Con il teorema di Pitagora ricaviamo l'altro cateto:

Sempre mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli ricaviamo

:

Il restante angolo,

, è rettangolo, di conseguenza conosciamo già le sue funzioni goniometriche:

Consideriamo il triangolo

;

abbiamo già trovato in precedenza le funzioni goniometriche dell'angolo

:

Inoltre, abbiamo la lunghezza del lato

e del lato :

Ricaviamo la lunghezza di

per differenza:

Per trovare le funzioni goniometriche dei suoi angoli, applichiamo il teorema dei seni:

Poiché però questo angolo è ottuso, il suo coseno è negativo:

Applichiamo di nuovo il teorema dei seni per trovare le funzioni goniometriche dell'ultimo angolo:

Svolgimento (2)

Determiniamo le funzioni goniometriche dell'angolo

, sapendo che esso è il doppio dell'angolo :

Applichiamo lo stesso procedimento per l'angolo

: