Concetti Chiave
- Il sistema è composto da una carrucola con un momento di inerzia specifico, pari a 1/2 M_c r², e una massa attaccata alla fune.
- Si analizzano le forze in gioco, ovvero la forza di tensione T' e la forza peso P, per determinare l'accelerazione del sistema.
- Il secondo principio della dinamica viene applicato alla massa m per stabilire l'equazione T' - P = ma.
- La relazione tra accelerazione lineare e angolare viene utilizzata, espresso come a = r · α, per risolvere il sistema di equazioni.
- Si conclude con l'espressione finale dell'accelerazione angolare α, che dipende dalla differenza tra le forze applicate e il peso della massa.
Testo del problema
E' data una carrucola a forma di disco con raggio[math]r[/math]
e massa [math]M_c[/math]
, con avvolta una fune. Tiriamo verso il basso un estremità della fune con una forza [math]F[/math]
. All' altra estremità della corda è attaccata una massa di [math]m[/math]
. Si trovi il modulo delle forze che agiscono sul sistema, l'accelerazione angolare del disco e l'accelerazione della massa attaccata. Soluzione del problema
Il momento di inerzia vale[math]\frac{1}{2}M_cr^2[/math]
. Le due forze note sono:
[math]\vec{F}[/math]
e la forza peso[math]\vec{P}[/math]
. E' necessario trovare le due tensioni. La tensione della fune dalla parte opposta al peso, è uguale e contraria a [math]F[/math]
. Diverso sarebbe stato se al posto della forza [math]\vec{F}[/math]
ci fosse stato un peso: la massa corrispondente avrebbe aumentato l'inerzia del sistema, la tensione avrebbe agito direttamente su questa massa diminuendo l'accelerazione (e sarebbe diminuito anche il momento sulla carrucola). Perciò si ha: [math]F=T[/math]
.Calcoliamo ora
[math]T'[/math]
. Per il secondo principio della dinamica (applicato sulla massa [math]m[/math]
, e prendendo come positive le forze in direzione di [math]T'[/math]
), risulterà: [math]T'-P=ma[/math]
. Considerando la carrucola, vale anche[math](F-T')r=I \cdot \alpha[/math]
(ho inserito [math]F[/math]
al posto di [math]T[/math]
perchè esse sono uguali in modulo).Infine, consideriamo la relazione tra accelerazione lineare a angolare:
[math]a=r \cdot \alpha[/math]
. Si avrà dunque il sistema
[math]\begin{cases} T'-P=ma \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \\ a=r \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]
.Sostituendo
[math]r\alpha[/math]
al posto di [math]a[/math]
[math]\begin{cases} T'-P=mr \cdot \alpha \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]
.Esplicitando la prima rispetto a
[math]T'[/math]
[math]\begin{cases} T'=mr \cdot \alpha+P \\ (F-T')r=I \cdot \alpha \ \end{cases}[/math]
.Sostituendo nella seconda
[math](F-P-m \cdot r \cdot \alpha)r=I \cdot \alpha[/math]
Sostituendo il valore del momento di inerzia
[math](F-P-m \cdot r \cdot \alpha)r=\frac{1}{2}mr^2 \cdot \alpha[/math]
semplificando
[math]r[/math]
[math]F-P-m \cdot r \cdot \alpha=\frac{1}{2}mr \cdot \alpha[/math]
[math]F-P=\frac{3}{2}mr \cdot \alpha[/math]
ovvero [math]\alpha=\frac{2}{3}(F-P)/(mr)[/math]
Il valore di
[math]a[/math]
(o di [math]T'[/math]
) può essere trovato facendo qualche conto sostituendo il valore di [math]\alpha[/math]
nelle altre relazioni.
Domande da interrogazione
- Qual è il momento di inerzia della carrucola descritta nel problema?
- Come si relazionano le forze in gioco nel sistema della carrucola?
- Qual è l'espressione per l'accelerazione angolare \(\alpha\) del disco?
Il momento di inerzia della carrucola è dato dalla formula \(\frac{1}{2}M_cr^2\).
Le forze in gioco sono la forza \(F\) e la forza peso \(P\). La tensione della fune opposta al peso è uguale e contraria a \(F\), quindi si ha \(F = T\).
L'accelerazione angolare \(\alpha\) del disco è espressa come \(\alpha = \frac{2}{3}(F-P)/(mr)\).
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