Vettore spostamento infinitesimo

Vettore spostamento infinitesimo calcolo vettoriale ed analisi dimensionale Vettore spostamento infinitesimo calcolo vettoriale ed analisi dimensionale

Si calcoli il valore dell’integrale di linea _{∫γ, A→B} w · dl essendo γ una linea giacente nel piano cartesiano xy, di equazione y = ax²; A(0,0) e B(2,4a) due punti di γ; w un campo vettoriale di espressione w = xu_y − yu_x ⁽¹⁾ e dl il vettore spostamento infinitesimo orientato lungo γ nella direzione che va da A a B.

Faremo riferimento alla figura, in cui è mostrata la linea γ tra i punti A e B ed i vettori w e dl in un punto generico della linea; si noti che lo spostamento infinitesimo dl è diretto da A a B. Procediamo ora col calcolare l’integrale di linea (1).

Scriviamo lo spostamento infinitesimo come: dl = dx u_x + dy u_y; (2)

Si noti tuttavia che dx e dy sono tra loro legati, in quanto lo spostamento non è di tipo generico, ma avviene lungo la linea γ. Mediante l’equazione che definisce la linea: y = ax²

Possiamo esprimere dy in funzione di dx: dy = dx = 2ax dx. (4)