Valore integrale di linea giacente nel piano cartesiano

Valore integrale di linea giacente nel piano cartesiano calcolo vettoriale ed analisi dimensionale

Valore integrale di linea giacente nel piano cartesiano calcolo vettoriale ed analisi dimensionale

Si calcoli il valore dell'integrale di linea essendo γ una linea giacente nel piano cartesiano xy, di equazione y = ax²; A(0,0) e B(2,4a) due punti di γ; w un campo vettoriale di espressione w = xu_y - yu_x (1) e dl il vettore spostamento infinitesimo orientato lungo γ nella direzione che va da A a B.

Faremo riferimento alla figura, in cui è mostrata la linea γ tra i punti A e B ed i vettori w e dl in un punto generico della linea; si noti che lo spostamento infinitesimo dl è diretto da A a B.

Procediamo ora col calcolare l'integrale di linea.

Scriviamo lo spostamento infinitesimo come:

Si noti tuttavia che dx e dy sono tra loro legati, in quanto lo spostamento non è di tipo generico, ma avviene lungo la linea γ.

Mediante l'equazione che definisce la linea:

Possiamo esprimere dy in funzione di dx:

Sostituendo nella (1) la (4) e ricordando che il vettore è dato dall'espressione w = x u_y - y u_x, si ottiene: