Teoria della relatività, problemi svolti: angoli e sistemi di riferimento

′’ ’ θ Una sbarra solidale ad un sistema di riferimento

′’ ’ θUna sbarra solidale ad un sistema di riferimento ha lunghezza propria e forma un angolo rispetto all’asse ’’. v⃗Il sistema si muove rispetto ad un riferimento S, solidale con il laboratorio, ad una velocità . 3 =

• A. Nel caso in cui il fattore valga , determina la lunghezza L della sbarra rispetto ad S in 5relazione a L’ e a ′.
• L’angolo che la sbarra forma con l’asse Ox nel caso in cui v sia una velocità generica.
• B. Determina Calcola poi l’angolo = 15° 0, = , = 1,50.quando si ha 2′
• C. Dato un angolo compreso tra 0° e 45°, vogliamo studiare se è possibile che si ottenga la = 2′.condizione A questo proposito, dimostra che la relazione tra i due angoli si può riscriverecome: 2 ′2 cos =2 ′2 cos − 1 = 2′può
• D. Basandoti sulla formula precedente, dimostra che la condizione essere soddisfatta solose il fattore di dilatazione è maggiore o uguale a 2

Svolgimento

Svolgimento l’espressione di’Scomponiamo il vettore posizione lungo le direzioni x ed y e scriviamociascuna componente:

′ ′ = cos ′′ ′ = sin ′ ’

Il modulo di è data da:

2√(′ 2 ′)’ = + ( ) ’

v⃗si muove di velocità orizzontale, applichiamo leformule relativistiche per determinare le componenti nel riferimento S:

ΔL 2L= = √1 − β L’γ2√1L = − β L′x x23√1L = − ( ) L′x x59√1L = − L′x x2525 − 9√L = L′x x2516 4 4′ ′√L = L′ → L = L = L cos θ′x x x x25 5 5′ ′L = L = L sinθ′y y

Ed ora la lunghezza L:

2√(L 2)L = + (L )x y24√ ′ ′ 2(LL = ( L cos θ′) + sinθ′)516 ′ ′ 2 ′ 2(L ) (Lcos θ + sin θ)√L = 2516 2 2L = L′√ cos θ′ + sin θ′25

Svolgimento punto b.

Svolgimento punto b. :

Scriviamo la relazione goniometrica tra le componenti che esp