Teoremi dei limiti e delle successioni

Teoremi dei limiti e delle successioni

Teoremi dei limiti e delle successioni

Date le funzioni

h(x) = -x² + 4x - 3, f(x) = 2x - 2, g(x) = x² - 1,

e sapendo che lim_x→1 h(x) = lim_x→1 g(x) = 0, calcoliamo lim_x→1 f(x) usando il teorema del confronto.

Per applicare il teorema del confronto dob-biamo verificare le sue ipotesi, ossia che si abbiah(x) ≤ f(x) ≤ g(x) in un intorno di 1:

• -x² + 4x - 3 ≤ 2x - 2 ≤ x² - 1 →
• -{ -x² + 4x - 3 ≤ 2x - 2, }→
• 2x - 2 ≤ x² - 1
• -{ -x² + 2x - 1 ≤ 0
• -x² + 2x - 1 ≤ 0 }

Poiché le disequazioni del sistema sono ve-rificate ∀ x ∈ 𝔺, allora è verificata anche ladisuguaglianza:

h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ 𝔺.

Possiamo applicare il teorema del confronto e affermare che lim_x→1 f(x) = 0.