Statistica probabilità - condizionata e teorema di Bayes

Matematica e statistica per scienze biologiche

Probabilità condizionata e teorema di Bayes A.A. 2021-2022

Esempio di prova d'esame

La ditta di serramenti Security ha a disposizione dei suoi clienti due tipi di serrature di sicurezza. Ogni cliente può acquistare una serratura del primo tipo, una del secondo tipo, entrambe o nessuna. La probabilità di venderne almeno un tipo è del 55%. La ditta vende anche ganci di sicurezza: il gancio è venduto con una probabilità del 32%. La probabilità che un cliente acquisti il primo tipo di serratura e il gancio è del 15%, mentre l’acquisto del gancio e l’acquisto del secondo tipo di serratura sono due eventi indipendenti. Sapendo che fra le due serrature la più richiesta è la prima, venduta con una probabilità del 40%, determina la probabilità:

• Di vendere la seconda serratura;
• Di vendere la seconda serratura o il gancio;
• Di vendere il gancio sapendo che è stata venduta la prima serratura;
• Di non vendere né la prima serratura né il gancio.

Svolgimento

Indichiamo con A il primo tipo di serratura, con B il secondo tipo e con G il gancio.

I dati che abbiamo sono: _p(A) = ⁴⁰/₁₀₀, _p(A ∪ B) = ⁵⁵/₁₀₀, _p(A ∩ B) = _p(A) · _p(B) (indipendenza tra A e B); _p(G) = ³²/₁₀₀, _p(A ∩ G) = ¹⁵/₁₀₀, _p(B ∩ G) = _p(B) · _p(G) (indipendenza tra B e G).

1. Calcoliamo il valore di _p(B).
   Dalla somma logica di eventi otteniamo un'equazione in _p(B). Infatti risulta _p(A ∪ B) = _p(A) + _p(B) - _p(A ∩ B), ma, poiché _p(A ∩ B) = _p(A) · _p(B) in quanto A e B sono eventi indipendenti, possiamo riscriverla nella forma _p(A ∪ B) = _p(A) + _p(B) - _p(A) · _p(B). Sostituendo i dati, si ottiene l'equazione ⁵⁵/₁₀₀ = ⁴⁰/₁₀₀ + _p(B) - ⁴⁰/₁₀₀ · _p(B), da cui: _p(B) = ¹⁵/₆₀ = ¹/₄ = 25 = 25%.
2. Calcoliamo il valore di _p(B ∪ G).
   Dalla somma logica di eventi indipendenti, abbiamo: _p(B ∪ G) = _p(B) + _p(G) - _p(B) · _p(G) = ¹/₄ + ³²/₁₀₀ - ¹/₄ · ³²/₁₀₀ = ^{100 + 128 - 32}/₄₀₀ = ¹⁹⁶/₄₀₀ = ⁴⁹/₁₀₀ = 0,49 = 49%.