Statistica inferenziale, esercitazione svolta, distribuzioni, media e varianza

Statistica inferenziale

Esercitazione 1

Distribuzione della media campionaria

Media e varianza

Distribuzione della frequenza campionaria

Problema 1

In un’impresa ci sono 5 dipendenti di sesso maschile e 4 dipendenti di sesso femminile con le stesse mansioni. Le retribuzioni lorde annue in migliaia di euro sono le seguenti.

Uomini 32 30 28 27 29

Donne 26 30 31 27

Considerando campioni di numerosità 3, determina:

• La distribuzione della media campionaria delle retribuzioni degli uomini;
• La distribuzione della media campionaria delle retribuzioni delle donne;
• La media e la varianza della differenza tra le due medie campionarie.

Problema 2

In un’urna ci sono 5 palline: 3 rosse e 2 blu. Dopo aver determinato la proporzione delle rosse sulla popolazione, considera i campioni di numerosità 3 ottenuti con reimmissione.

• Determina la distribuzione della variabile frequenza campionaria e verifica che la sua media è uguale alla proporzione determinata sulla popolazione.
• Quanto vale la varianza della frequenza campionaria trovata?

Statistica inferenziale

Esercitazione 1

Distribuzione della media campionaria

Media e varianza

Distribuzione della frequenza campionaria

Problema 1

In un’impresa ci sono 5 dipendenti di sesso maschile e 4 dipendenti di sesso femminile con le stesse mansioni. Le retribuzioni lorde annue in migliaia di euro sono le seguenti.

Uomini 32 30 28 27 29

Donne 26 30 31 27

Considerando campioni di numerosità 3, determina:

• La distribuzione della media campionaria delle retribuzioni degli uomini;
• La distribuzione della media campionaria delle retribuzioni delle donne;
• La media e la varianza della differenza tra le due medie campionarie.

Problema 2

In un’urna ci sono 5 palline: 3 rosse e 2 blu. Dopo aver determinato la proporzione delle rosse sulla popolazione, considera i campioni di numerosità 3 ottenuti con reimmissione.

• Determina la distribuzione della variabile frequenza campionaria e verifica che la sua media è uguale alla proporzione determinata sulla popolazione.
• Quanto vale la varianza della frequenza campionaria trovata?

Problema 1

In un’impresa ci sono 5 dipendenti di sesso maschile e 4 dipendenti di sesso femminile con le stesse mansioni. Le retribuzioni lorde annue in migliaia di euro sono le seguenti.

Considerando campioni di numerosità 3, determina:

• La distribuzione della media campionaria delle retribuzioni degli uomini;
• La distribuzione della media campionaria delle retribuzioni delle donne;
• La media e la varianza della differenza tra le due medie campionarie.

a. Media e varianza della retribuzione U

La media e la varianza della retribuzione U relativa alla popolazione degli uomini di numerosità 5 sono rispettivamente:

μ_U = \(\frac{32 + 30 + 28 + 27 + 29}{5} = 29,2\);

σ²_U = \(\frac{(32 - 29,2)² + (30 - 29,2)² + (28 - 29,2)² + (27 - 29,2)² + (29 - 29,2)²}{5} = 2,96.\)

Nell’ipotesi di estrazione bernoulliana di campioni di numerosità n = 3, la distribuzione della media campionaria U̅ delle retribuzioni degli uomini ha media uguale a quella della popolazione, ovvero μ_U̅ = μ_U = 29,2, e varianza pari a:

σ²_U̅ = \(\frac{σ²_U}{n} = \frac{2,96}{3} ≃ 0,99.\)

b. Media e varianza della retribuzione D

La media e la varianza della retribuzione D relativa alla popolazione delle donne di numerosità 4 sono rispettivamente:

μ_D = \(\frac{26 + 30 + 31 + 27}{4} = 28,5\);

σ²_D = \(\frac{(26 - 28,5)² + (30 - 28,5)² + (31 - 28,5)² + (27 - 28,5)²}{4} = 4,25.\)

Sempre nell’ipotesi di estrazione bernoulliana di campioni di numerosità n = 3, la distribuzione della media campionaria D̅ delle retribuzioni delle donne ha media uguale a quella della popolazione, ovvero μ_D̅ ≡ μ_D = 28,5 e varianza pari a:

σ²_D̅ = \(\frac{σ²_D}{n} = \frac{4,25}{3} = 1,42.\)

c. Differenza tra medie campionarie

Consideriamo la variabile casuale U̅ - D̅, differenza tra medie campionarie. La sua media è pari a

M(U̅ - D̅) = M(U̅) - M(D̅) = μ_U̅ - μ_D̅ = 29,2 - 28,5 = 0,7,

e la sua varianza è pari a

var(U̅ - D̅) = var(U̅) + var(D̅) = σ²_U̅ + σ²_D̅ ≃ 0,99 + 1,42 = 2,41.