Solidi di rotazione, problema di realtà

Complementi di matematica

Geometria euclidea nello spazio

Esercizi svolti

Modelli geometrici e problema di realtà

Solidi di rotazione, aree e volumi

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Problema 1

Mediante tronchi di cono con diametri di base di 2,4 cm e 1,8 cm altezza congruente al diametro della base minore, si possono rappresentare dei cioccolatini. La cavità ripiena di caffè è approssimata ad un cilindro con raggio di base di 0,6 cm e altezza congruente alla metà dell’altezza del cioccolatino.

• Determina la massima quantità di caffè, in millilitri, che può essere contenuta in un cioccolatino.
• La densità del cioccolato è 1,1 g/cm³. Quanti grammi di cioccolata contiene un cioccolatino?
• Usando le stesse quantità di cioccolato e caffè, si vuole produrre un cioccolatino a forma di cilindro equilatero. Quale sarà l’altezza del nuovo prodotto?
• Determina qual è la minima quantità di carta necessaria per incartare uno dei cioccolatini cilindrici del punto precedente.

Svolgimento

a. La cavità cilindrica ripiena di caffè ha raggio di base r = 0,6 cm e altezza h = 0,9 cm. Calcoliamo il volume:

V_caffè = πr² . h = π . (0,6)² . 0,9 ≃ 1 cm³.

In un cioccolatino è contenuto circa 1 mL di caffè.

b. Dobbiamo calcolare il volume di cioccolata, dato dalla differenza tra il volume del tronco di cono e il volume della cavità interna.

Il tronco di cono ha raggi di base r₁ = 1,2 cm e r₂ = 0,9 cm, e altezza h₁ = 1,8 cm. Calcoliamo il volume:

V_t = 1/3 πh(r₁² + r₁ r₂ + r₂²) = 1/3 . π . 1,8(.1,2² + 0,9² + 1,2 . 0,9) ≃ 6,3 cm³.

Il volume di cioccolata è V_cioccolata ≃ 6,3 – 1 = 5,3 cm³, quindi la quantità di cioccolata è

V_cioccolata . d_cioccolata = 5,3 . 1,1 ≃ 5,8 g. Un cioccolatino contiene circa 5,8 g di cioccolata.

c. Consideriamo un cilindro equilatero con diametro di base 2x e altezza 2x. Il suo volume deve coincidere con il volume del cioccolatino studiato in precedenza, quindi:

πx² . 2x = 6,3 – x² ≃ 1 – x ≃ 1.

Il nuovo cioccolatino avrà altezza 2 cm.

d. Per trovare la minima quantità di carta necessaria per incartare un cioccolatino cilindrico basta calcolare l’area della superficie totale, considerando x ≃ 1.

A_t = 2A_b + A_l = 2 . πx² + 2πx . 2x = 6πx² ≃ 19 cm².

Sono necessari almeno 19 cm² di carta.