Sistema lineare in quattro incognite

Sistema lineare in quattro incognite, rotazione spazio vettoriale Sistema lineare in quattro incognite, rotazione spazio vettoriale

Sia dato il sistema lineare nelle incognite reali x, y, z, t:

{x - 3y + z + 3t = 1
x - y + 5z + 5t = 21 - 2a
x - 2ax - 2y + 3z + 4t = 11 - a}

a) Si studi il sistema al variare di a ∈ ℝ e si trovino le eventuali soluzioni.

b) Si determini una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.

Siano A = | _{1 -3 1 3} | e (A | b) = | _{1 -3 1 3 1} |       _{1 -1 5 5             1 -1 5 5 21 - 2a       1 -2 3 4             1 -2 3 4 11 - a}

La matrice completa (A | b) associata al sistema, dopo aver effettuato uno scambio tra le righe, può essere ridotta nella seguente forma a scala:

(A | b) ~ | _{1 -3 1 3 1} |                _{0 1 5 2 10 - 2a                0 0 0 0 0}

Ora rg A = rg (A | b) = 2 per ogni valore di a, da cui segue che il sistema è sempre compatibile ed ammette infinite soluzioni dipendenti da 2 parametri.

Le soluzioni sono date da (31 - 3a - 7z - 6t, 10, a - 2z - t, z, t) al variare di z, t ∈ ℝ.

Spazio delle soluzioni del sistema omogeneo

Se consideriamo il sottospazio Δ delle soluzioni del sistema omogeneo associato, esso ha le seguenti equazioni cartesiane:

Δ : {x - 3y + z + 3t = 0
y + 2z + t = 0

da cui {x = -7z - 6t
y = -2z - t e quindi

v ∈ Δ ⇔ v = (7z - 6t, -2z - t, z, t) = z(-7, -2, 1, 0) + t(-6, -1, 0, 1).

Detti v₁(-7, -2, 1, 0) e v₂(-6, -1, 0, 1), si ha {v₁, v₂} è base di Δ.