Estratto del documento

VII esercitazione 30/04/14

Esercizio 1

La funzione di produzione di un’impresa è data da Q = 30L2 - 2KL3. Poiché siamo nel breve periodo considerare il capitale fisso pari a 3.

  1. Calcolare le funzioni di prodotto marginale e medio.

Q = 30L2 - 2kL3   k = 3

Q(3) = 30L2 - 2(3)L3 = 30L2 - 6L3

MPL = ΔQ / ΔL = 60L - 18L2

APL = Q / L = 30L2 - 6L3 / L = 30L - 6L2

  1. Rappresentare graficamente le funzioni di produzione, prodotto marginale e medio per le prime 5 unità di lavoro.

Metodo tabellare

  • L: 1, Q: 27, MPL: 60, APL: 24
  • L: 2, Q: 72, MPL: 48, APL: 36
  • L: 3, Q: 108, MPL: 18, APL: 36
  • L: 4, Q: 96, MPL: -48, APL: 24
  • L: 5, Q: 0, MPL: -150, APL: 0

Q(1) = 30(4)2 - 6(1)3 = 24 Q(2) = 30(2)2 - 6(2)3 = 72 Q(3) = 30(3)2 - 6(3)3 = 108 Q(4) = 30(4)2 - 6(4)3 = 96 Q(5) = 30(5)2 - 6(5)3 = 0

MPL(1) = 60 - 18(2) = 42 MPL(2) = 60(2) - 18(2)2 = 48 MPL(3) = 60(3) - 18(3)2 = 18 MPL(4) = 60(4) - 18(4)2 = -48 MPL(5) = 60(5) - 18(5)2 = -150

APL(1) = 30 - 6 = 24 APL(2) = 30(2) - 6(2)2 = 36 APL(3) = 30(3) - 6(3)2 = 36 APL(4) = 30(1) - 6(4)2 = 24 APL(5) = 30(5) - 6(5)2 = 0

VII esercitazione 30/04/14

Esercizio 1

La funzione di produzione di un'impresa è data da Q = 30L2 - 2KL3. Poiché siamo nel breve periodo considerare il capitale fisso pari a 3.

  1. Calcolare le funzioni di prodotto marginale e medio.

Q = 30L2 - 2L3      k = 3

Q(3) = 30L2 - 2(3)L3 = 30L2 - 6L3

MPL = ∆Q/∆L = 60L - 18L2

APL = Q/L = (30L2 - 6L3)/L = 30L - 6L2

  1. Rappresentare graficamente le funzioni di produzione, prodotto marginale e medio per le prime 5 unità di lavoro.

Metodo tabellare

L Q MPL APL
1 27 42 24
2 72 48 36
3 108 36 36
4 96 -48 24
5 0 -150 0

Q(1) = 30(4)2 - 6(4)3 = 24

Q(2) = 30(2)2 - 6(2)3 = 72

Q(3) = 30(3)2 - 6(3)3 = 108

Q(4) = 30(4)2 - 6(4)3 = 96

Q(5) = 30(5)2 - 6(5)3 = 0

MPL(1) = 60 - 18(1)2 = 42

MPL(2) = 60(2) - 18(2)2 = 48

MPL(3) = 60(3) - 18(3)2 = 18

MPL(4) = 60(4) - 18(4)2 = -48

MPL(5) = 60(5) - 18(5)2 = -150

APL(1) = 30 - 6 = 24

APL(2) = 30(2) - 6(2)2 = 36

APL(3) = 30(3) - 6(3)2 = 36

APL(4) = 30(1) - 6(4)2 = 24

APL(5) = 30(5) - 6(5)2 = 0

Metodo grafico

L=0

HP: 60L - 18L2 60L - 18L2 = 0 L(60 - 18L) = 0

60 - 18L L = 3,3

Q=30L2 - 6L3

Q(3,3) = 30(3,3)2 - 6(3,3)3 = 111,06

Q=30L2 - 6L3 30L2 6L3 = 0 L=5

Verificate in che punto il prodotto marginale e quello medio si intersecano

MPL = APL

60L - 18L2 = 30L - 6L2 = 30L - 12L2 = 0 L(30 - 12L) = 0

L = 2,5

dMPL/dL = 0

60 - 36L = 0

60 = 36L

L = 60/36 = 1,67

APL, MPL

MPL = 60L - 18L2

60L - 18L2 = 0

L(60 - 18L) = 0

L = 0

60 - 18L 18L = 60

L = 3,3

APL = 30L - 18L2 = 0

30L = 6L2

L(30 - 6L) = 0

30 - 6L = 0

L = 5

In corrispondenza di quale livello di produzione il prodotto marginale è nullo?

MPL = 0

60L - 18L2 = 0 L(60 - 18L) = 0

L = 0

L = 3,3

Esercizio 2

  1. Data la funzione di produzione Q = 6L - 0.1L2, nel breve periodo, il capitale fisso ad un livello pari a 10:
  2. Calcolare il prodotto medio e marginale del lavoro.

Q = 6L - 0.1L2   k = 10   Q(10) = 6L - L2

MPL = ∂Q/∂L = 6 - 2L

APL = Q/L = 6L - L2/L = 6 - L

  1. Rappresentare graficamente la funzione del prodotto totale, del prodotto medio e del prodotto marginale evidenziando le relazioni esistenti tra le varie curve.

MPL = 0   6 - 2L = 0   6 = 2L   L = 3;

Q = 0   6L - L2 = 0   L(6 - L) = 0

L = 0   6 - L = 0   L = 6

Q(3) = 6(3) - (3)2 = 9

Q(1) = 6(1) - (1)2 = 6 - 1= 5

Q(2) = 6(2) - (2)2 = 12 - 4 = 8

APL = 6 - L

APL(0) = 6 - 0 = 6

APL(1) = 6 - 1 = 5

APL(2) = 6 - 2 = 4

Esercizio 3

Nel lungo periodo un’impresa presenta una funzione di produzione pari a:

Q(L, K) = L1/4 K3/4

  1. Rappresentare graficamente l’insieme di produzione in corrispondenza di un livello di output pari a 280.

Q = L1/4 K3/4 Q = 280

L1/4 280 K3/4 = 2804/3 K = 1231,80

1 1831,80

2 1453,9

3 1270,1

Calcolare il Saggio Marginale di sostituzione tecnico.

SMST = MPL = [Q = L1/4 K3/4]

MPL = ∂Q/∂L = 1/4 L-3/4 K3/4

MPK = ∂Q/∂K = L1/4 K-1/4

SMST = 1/4 · K = 1/3 · L

Questa funzione di produzione presenta rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti?

Q = L1/4 K3/4

t>0 → Q = (tL)1/4 (tK)3/4 = tL1/4 K3/4

= t1 → t = Q(L, K)

Rendimenti di scala costanti

Esercizio 4

Dati le seguenti funzioni di produzione

  1. Calcolate i rendimenti in scala.
  2. Calcolate i rendimenti marginali di ciascun fattore produttivo.
  3. Calcolate il Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica tra fattori produttivi.

a) \( Y = 3KL \)

  1. \( t \to \infty \) \( Y = 3t (k)(tL) = 3t^2 (KL = t^2 (3KL) = t^2 Y(K,L) \) Rendimenti di scala crescenti
  2. \( \frac{\partial Y}{\partial L} = 3K \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2} = 0 \) Rendimenti marginali costanti
  3. \( \frac{\partial Y}{\partial k} = 3L \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial k^2} = 0 \) Rendimenti marginali costanti
  4. SMST = \( \frac{MPL}{MPK} = \frac{3K}{3L} = \frac{K}{L} \)

b) \( Y = k^2 L \)

  1. \( t \to \infty \) \( Y = (tk)^2 (tL) = t^2 k^2 (tL) = t^3 (k^2 L) = t^3 Y(K,L) \) Rendimenti in scala crescenti
  2. \( \frac{\partial Y}{\partial L} = k^2 \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2} = 0 = D \) Rend. marg. costanti
  3. \( \frac{\partial Y}{\partial k} = 2kL \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial k^2} = 2L \) Rendimenti marginali crescenti
  4. SMST = \( \frac{k^2}{2kL} = \frac{k}{2L} \)

c) \( Y = k + 2L \)

  1. \( t \to \infty \) \( Y = (tk) + 2(tL) = t (k + 2L) = t Y(K,L) \) Rendimenti in scala costanti
  2. \( \frac{\partial Y}{\partial L} = 2 \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2} = 0 \) Rendimenti marginali costanti
  3. \( \frac{\partial Y}{\partial k} = 1 \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial k^2} = 0 \) Rendimenti marginali costanti
  4. SMST = \( \frac{1}{2} = 2 \)

d) Y = 5 √K ⋅ √L = 5 K1/2 L1/2

  1. t > 0 → Y = 5 (tK)1/2 (tL)1/2 = 5 t1/2 K1/2 ⋅ t1/2 L1/2 = t (5 K1/2 L1/2) = t Y(k,l)

→ Rendimenti in scala costanti

  1. ∂Y/∂L = 5 K1/2 ⋅ 1/2 L-1/2 = 5/2 K1/2 L-1/2 ∂2Y/∂L2 = 5 K1/2 ⋅ -1/2 ⋅ 1/2 L-3/2 = -5/4 K1/2 L-3/2 < 0 Rendimenti marginali decrescenti
  2. ∂Y/∂K = 5 L1/2 ⋅ 1/2 K-1/2 = 5/2 L1/2 K-1/2 ∂2Y/∂K2 = 5 L1/2 ⋅ -1/2 ⋅ 1/2 K-3/2 = -5/4 L1/2 K-3/2 < 0 Rendimenti marginali decrescenti

3. SMRS = 5/2 ⋅ K1/2 L-1/2 / 5/2 ⋅ L1/2 K-1/2 = K/L

e) Y = √4K ⋅ L = (KL)1/4

  1. t > 0 → Y = ∂Y/∂L =

f) Y = L0.2 K0.8

  1. t > 0 → Y = (tL)0.2 (tK)0.8 = t0.2 L0.2 ⋅ t0.8 K0.8 = t (L0.2 K0.8) → t Y(l,k)

→ Rendimenti in scala costanti

  1. ∂Y/∂L = 0.2 L-0.8 K0.8 ∂2Y/∂L2 = -0.16 L-0.8 K0.8 < 0 Rend. marg. decrescenti
  2. ∂Y/∂K = 0.8 L0.2 K-0.2 ∂2Y/∂K2 = -0.16 K-1.2 < 0 Rend. marg. decrescenti
Anteprima
Vedrai una selezione di 3 pagine su 7
Settima esercitazione di Microeconomia Pag. 1 Settima esercitazione di Microeconomia Pag. 2
Anteprima di 3 pagg. su 7.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Settima esercitazione di Microeconomia Pag. 6
1 su 7
D/illustrazione/soddisfatti o rimborsati
Acquista con carta o PayPal
Scarica i documenti tutte le volte che vuoi
Dettagli
SSD
Scienze economiche e statistiche SECS-P/01 Economia politica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher sofia.sa123 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Cagliari o del prof Piras Romano.
Appunti correlati Invia appunti e guadagna

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community
Vai al forum