Relazione Esercitazioni Meccanica delle terre

Università degli Studi di Roma “La Sapienza”

• Facoltà di ingegneria civile e industriale
• Corso di Laurea in Ingegneria Civile
• Esercitazioni
• Corso “Meccanica delle Terre”
• Professore: Prof. Luigi Callisto
• Studente: Valeria Mauro
• Matricola: 1792689
• Anno accademico 2021/2022

Esercitazione sul reticolo di filtrazione

Ogni casella di Excel, che rappresenta una posizione nello spazio, è quadrata, cioè la scala orizzontale è analoga a quella verticale in modo che si conservino le ortogonalità tra le linee isopieziche e i vettori velocità (cioè le linee di flusso). Ogni casella però non rappresenta una porzione di uno spazio ma un nodo, ha cioè dimensioni infinitesime.

I nodi rappresentati in rosa appartengono ad un contorno impermeabile. L’asse di simmetria è anch’esso un contorno impermeabile per ragioni di simmetria: una linea verticale di simmetria non può essere attraversata da un vettore velocità altrimenti si violerebbe la simmetria; per questo motivo i vettori velocità sono paralleli all’asse di simmetria. I nodi verdi sono, invece, i termini noti, cioè sono quelle posizioni lungo le quali pensiamo di conoscere a priori i valori delle isopieziche.

Ci proponiamo quindi di calcolare all’interno di ciascuna casella il valore della quota piezometrica nel sistema di riferimento delle quote geodetiche che ha origine nel contorno inferiore del reticolo.

Lungo il contorno verde a valle le pressioni interstiziali devono essere nulle e quindi le quote piezometriche sono uguali alle quote geodetiche. Lungo questo contorno la quota geodetica vale: 15-7=8 m. A monte alle profondità di 1.5 m essendo la pressione interstiziale nulla la quota geodetica coincide con la quota piezometrica e vale: 15-1.5=13.5 m.

L’acqua attraversa due mezzi il cui contrasto di permeabilità è necessariamente di molti ordini di grandezza. Quindi l’acqua attraversa due mezzi in serie dei quali il primo pezzetto, fino alla profondità di 2.5 m, è molto più permeabile del terreno argilloso. Quindi si fa un’approssimazione: si assume che le perdite di carico nel primo pezzettino non ci sono perché si verificano solo nel secondo. Se non ci sono perdite di carico nel pezzettino tra 1.5 m e 2.5 m di profondità la quota piezometrica è costante e quindi è pari a quella alla profondità di 1.5 m, cioè 13.50 m.

Il contorno a destra è fittizio. Se il contorno fosse sufficientemente distante la condizione al contorno che io metto non dovrebbe influenzare il problema, cioè assuma che sono ormai ad una distanza dal mio problema talmente grande che il regime delle pressioni interstiziali all’interno del mio deposito non risente più della perturbazione prodotta dallo scavo, quindi recupero la condizione idrostatica precedente che è caratterizzata da quota piezometrica costante con la profondità e da flusso nullo e quindi suppongo che questo contorno sia a carico idraulico costante, cioè 13.5 m.

Per risolvere il problema utilizzo il metodo delle differenze finite scrivendo in ogni casella bianca la formula corrispondente del metodo a seconda della posizione del nodo che sto considerando, facendo attenzione che nel contorno impermeabile possiamo avere tre casi diversi. Per fare ciò devo utilizzare un calcolo iterativo che mi calcola la formula per tentativi e calcola degli scarti rispetto ai termini noti e quando gli scarti sono minimi l’iterazione si ferma. Quindi quando faccio partire il calcolo iterativo devo inserire due valori: lo scarto consentito pari a 0.0000001 e il numero massimo di iterazioni pari a 10000.

Il reticolo di filtrazione perde il carattere di metodo di calcolo e diventa uno strumento interpretativo. Bisogna disegnare le isopieziche con una spaziatura di 25 cm e le linee di flusso ortogonali a esse.

Per calcolare le portate utilizzo il metodo delle differenze finite. Nel fondo scavo il flusso è verticale perché c’è ortogonalità tra le isopieziche e le linee di flusso. Mi calcola dapprima le portate elementari considerando porzioni elementari con Δh=7.25-7 e Δs=0.25 e infine mi calcolo la portata totale come la somma delle portate elementari.

Infine diagrammo, ad una distanza di 2 m dalla parete (a monte e a valle), le quote piezometriche e le pressioni interstiziali. Quest’ultime, note le quote piezometriche e nota la posizione nello spazio, si possono calcolare come segue:

u = (h-ζ)*γw

Mentre per il caso A e il caso C il contorno inferiore è impermeabile, nel caso B il contorno inferiore è permeabile. In esso però, poiché le ghiaie sono a contatto con un terreno meno permeabile, non ci sono perdite di carico idraulico, quindi la quota piezometrica è costante e vale 13.5 m.

Caso A

Caso B

Caso C

Verifiche nei confronti del sifonamento

Si tratta di fare delle verifiche nei confronti del sifonamento.

Rispetto all’esercitazione 1, dobbiamo fare delle ipotesi un po’ diverse sui tipi di terreni coinvolti perché il sifonamento è un fenomeno che riguarda i terreni a grana grossa, mentre la soluzione del problema di filtrazione è la stessa purché la permeabilità del terreno sabbie-limose sia sufficientemente inferiore alla permeabilità del terreno sabbie-grosse, mentre il terreno al contorno inferiore può essere ad elevata permeabilità (ghiaie) o a bassa permeabilità (argille).

Quindi la soluzione del problema di filtrazione è sempre quella di perdite di carico che si concentrano all’interno dello strato sabbie-limose, questo se le sabbie-grosse sono sufficientemente più permeabili delle sabbie-limose. Questo è un caso nel quale il moto di filtrazione è bidimensionale.

Caso A: verifica al sifonamento

Punto a

Possiamo calcolare il gradiente idraulico critico come: − = Prendo i come valore di riferimento e calcolo il coefficiente di sicurezza nei confronti del sifonamento FS come: = Essendo in un moto monodimensionale utilizziamo la raccomandazione di Terzaghi che è quella di riferirsi ad un volume di terreno in uscita, ovvero un rettangolo la cui base minore è pari alla metà della base maggiore.

Quest’ultima è la profondità di infissione della paratia, ovvero 5 m, quindi la base minore è di 2.5 m. Ci dobbiamo, dunque, andare a calcolare il gradiente idraulico medio equivalente in questo volume di terreno che è pari a:

ℎ= Capiamo già che la quota piezometrica lungo AB sta cambiando, cioè sta diminuendo, mentre la quota piezometrica in CD è costante perché coincide con quella che si riferisce ad una condizione di pressione interstiziale nulla, quindi coincide con la quota geodetica del fondo scavo.

Utilizziamo un sistema di riferimento per la quota geodetica che è rivolto verso l’alto e che ha l’origine alla base del deposito.

Isolo, su Excel, il nostro volume significativo: dobbiamo andare dal bordo della paratia lateralmente per 2.5 m, cioè da 1 3.5 m, e scendere fino al piede di essa.

Nella nostra soluzione abbiamo già i valori della quota piezometrica: quella a fondo scavo è 8 m perché coincide con la quota geodetica, quella lungo AB la calcoliamo come la media delle quote piezometriche lungo AB.

Ottengo così il gradiente idraulico e il coefficiente di sicurezza che, essendo elevato, soddisfa la verifica.

Punto b

Immaginiamo che la parete entri all’interno del deposito inferiore. Se così fosse succederebbe che le ghiaie hanno sempre la quota piezometrica che si riferisce ad una condizione di pressione interstiziale nulla perché, poiché le ghiaie sono molto più permeabili dei terreni sovrastanti, non ci possono essere perdite di carico all’interno delle ghiaie. Dato che i punti alla base del deposito appartengono tutti anche alle ghiaie allora su essi non ci sono perdite di carico e di conseguenza le ghiaie conservano il valore della quota piezometrica che si ha a grande distanza dallo scavo, dove l’effetto di esso non si sente più.

Se faccio un diagramma delle quote piezometrica tra il contorno inferiore e il fondo scavo ottengo un andamento lineare e quindi il gradiente idraulico, nella versione semplificata, è costante, cioè pari a: − ( − )= ( − )

Posso, infine, calcolare il gradiente idraulico che sarà pari a 0.69.

Se non accettiamo l’analisi semplificata, facciamo la solita operazione. Dobbiamo calcolare in questo caso anche la profondità di scavo per la quale si ha il sifonamento.

Ci chiediamo cioè di quanto dobbiamo incrementare la profondità per avere la condizione di sifonamento. Per fare ciò utilizzo la soluzione approssimata.

Si verifica il sifonamento quando il gradiente idraulico è uguale al gradiente critico. Quindi: ℎ= = − ℎ

Ricavo Δh: ∗ ℎ = =1 + 2

La profondità di scavo critica Hc, quella per la quale si verifica il sifonamento, è pari a 8.25 m.

Quindi se lo scavo è di 7 m bisogna scavare ancora 1.25 m affinché si verifichi il sifonamento.

Punto c

Isolo anche questa volta un rettangolo.

Possiamo notare che in AB le quote piezometriche sono maggiori rispetto al primo caso perché se lo scavo è più stretto le resistenze al moto sono maggiori. In altri termini le isopieziche si infittiscono perché la zona è più stretta, offre cioè una maggiore resistenza al moto. Quindi i gradienti idraulici sono maggiori perché sono inversamente proporzionali alle distanze fra le isolinee.

Caso B: verifica al galleggiamento

Si tratta di una verifica nei confronti del galleggiamento, quindi è un problema idraulico che riguarda uno scavo in un terreno a grana fine.

Nelle sabbie e nelle argille non ci sarà una perdita di carico. Quindi se considero l’elemento di terreno al di sotto dello scavo avrò una pressione interstiziale che agisce uniformemente in tutte le direzioni e quindi anche nella direzione verticale che sarà pari a: = ∗

La tensione verticale totale è quella che corrisponde al peso del terreno, cioè è pari a: = ∗ (14 − 8)

Si ha una sottospinta idraulica che è maggiore del peso e quindi questa zona di terreno galleggia, cioè il coefficiente di sicurezza è minore di 1: =

Quindi la verifica non è soddisfatta per ciò che si verifica ad una profondità maggiore del piede della parete.

Dobbiamo quindi valutare la riduzione della quota piezometrica nello stato di ghiaie necessaria per ottenere un coefficiente di sicurezza pari a 2. Quindi devo avere: = ≥2

E quindi: ≤ 2

Quindi la pressione deve essere minore di 57 kPa. Quindi devo avere una variazione di Δu pari a: = 125 − 57 = 68

Per ridurre le pressioni interstiziali non posso ridurre la quota geodetica, che è sempre la stessa, ma posso ridurre h. Quindi Δh è pari a:

ℎ = = 6.8

Quindi da h=12.5 m devo arrivare a h=5.7 m.

Questa esercitazione è un’applicazione del metodo dell’equilibrio limite.